Tetsu

Moderators
  • Content count

    51
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    5

Tetsu last won the day on August 23 2016

Tetsu had the most liked content!

Community Reputation

6 Neutral

About Tetsu

  • Rank
    Advanced Member

Profile Information

  • Gender
    Female
  • Location
    Jakarta

Recent Profile Visitors

360 profile views
  1. Misalkan $m$ dan $n$ dua bilangan asli. Jika ada tak berhingga banyaknya bilangan bulat $k$ sehingga $k^2+2kn+m^2$ adalah bilangan kuadrat sempurna, buktikan bahwa $m=n$.
  2. Titik-titik $A,B,C,D$ terletak pada lingkaran $S$ demikian rupa, sehingga $AB$ merupakan diameter $S$, tetapi $CD$ bukan diameter $S$. Diketahui pula bahwa $C$ dan $D$ berada pada sisi yang berbeda terhadap $AB$. Garis singgung terhadap $S$ di $C$ dan $D$ berpotongan di titik $P$. Titik-titik $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah perpotongan garis $AC$ dengan garis $BD$ dan garis $AD$ dengan garis $BC$. Buktikan bahwa $P,Q$ dan $R$ segaris. Buktikan bahwa garis $QR$ tegak lurus terhadap garis $AB$.
  3. Tentukan semua tripel bilangan real $(a,b,c)$ yang memenuhi ketiga persamaan berikut sekaligus \begin{align*} x&=y^3+y-8\\ y&=z^3+z-8\\ z&=x^3+x-8\\ \end{align*}
  4. Misalkan $r,s$ dua bilangan asli dan $P$ sebuah 'papan catur' dengan $r$ baris dan $s$ lajur. MIsalkan $M$ menyatakan banyak maksimal benteng yang dapat diletakkan pada $P$ sehingga tidak ada dua benteng yang saling menyerang. Tentukan $M$. Ada berapa cara meletakkan $M$ buah benteng pada $P$ sehingga tidak ada dua benteng yang saling menyerang?
  5. Suatu susunan 10-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dikatakan cantik jika Saat dibaca dari kiri ke kanan, 0, 1, 2, 3, 4 membentuk barisan naik, sedangkan 5, 6, 7, 8, 9 membentuk barisan turun, dan Angka 0 tidak berada pada ujung kiri. Sebagai contoh, 9807123654 adalah susunan cantik. Tentukan banyaknya susunan cantik.
  6. Misalkan $a,b,c$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi ketaksamaan $$5(a^2+b^2+c^2)<6(ab+bc+ca)$$ Buktikan bahwa ketiga ketaksamaan berikut berlaku: $a+b>c$, $b+c>a$, dan $c+a>b$.
  7. Untuk setiap bilangan asli $n$, $b(n)$ menyatakan banyaknya faktor positif $n$ dan $p(n)$ menyatakan hasil penjumlahan semua faktor positif $n$. Sebagai contoh, $b(14)=4$ dan $p(14)=24$. Misalkan $k$ sebuah bilangan asli yang lebih besar dari 1. Buktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan asli $n$ yang memenuhi $b(n)=k^2-k+1$ Buktikan bahwa ada berhingga banyaknya bilangan asli $n$ yang memenuhi $p(n)=k^2-k+1$
  8. Misalkan $ABC$ segitiga dengan $\angle ABC=\angle ACB = 70^{\circ}$. Misalkan titik $D$ pada sisi $BC$ sehingga $AD$ garis tinggi, titik $E$ pada sisi $AB$ sehingga $\angle ACE=10^{\circ}$, dan titik $F$ adalah perpotongan $AD$ dan $CE$. Buktikan bahwa $CF=BC$.
  9. Tentukan bilangan bulat 85-angka terbesar yang memenuhi sifat: jumlah semua angkanya sama dengan hasil kali semua angkanya.
  10. Misalkan $a,b,c$ bilangan-bilangan real sehingga $ab,ac,bc$ bilangan-bilangan rasional. Buktikan bahwa ada bilangan-bilangan bulat $x,y,z$ yang tidak semuanya nol, sehingga $ax+by+cz=0$.
  11. Setiap nomor telepon di suatu daerah terdiri dari 8 angka dan diawali dengan angka 8. Pak Edy, yang baru pindah ke daerah itu, mengajukan pemasangan sebuah telepon baru. Berapakah peluang pak Edy mendapatkan nomor telepon yang memuat tidak lebih dari 5 angka berbeda?
  12. Pada segitiga $ABC$, $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$. Sebuah garis $l$ melalui $G$ memotong ruas garis $AB$ di $P$ dan ruas garis $AC$ di $Q$, dimana $P\neq B$ dan $Q\neq C$. JIka $[XYZ]$ menyatakan luas segitiga $XYZ$, tunjukkan bahwa $$\frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}=\frac{3}{2}$$
  13. Misalkan $n>2$ adalah bilangan asli tetap. Sebuah bidak hitam ditempatkan pada petak pertama dan sebuah bidak putih ditempatkan pada petak terakhir sebuah papan catur berukuran $1\times n$. Wiwit dan Siti lalu melangkah bergantian. Wiwit memulai permainan dengan bidak putih. Pada setiap langkah, pemain memindahkan bidaknya sendiri satu atau dua petak ke kanan atau ke kiri tanpa melompati bidak lawan. Pemain yang tidak bisa melangkah dinyatakan kalah. Pemain manakah yang memiliki cara (strategi) untuk selalu memenangkan permainan, apa pun yang dilakukan lawannya? Jelaskan strategi pemain tersebut.
  14. Misalkan $S$ adalah himpunan semua segitiga $ABC$ yang memenuhi sifat : $\tan A, \tan B$ dan $\tan C$ adalah bilangan-bilangan asli. Buktikan bahwa semua anggota $S$ sebangun.
  15. Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi \begin{align*} x^3-y^3&=4(x-y)\\ x^3+y^3&=2(x+y)\\ \end{align*}