Jump to content

Wildan Bagus W

Members
  • Content count

    71
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    13

Everything posted by Wildan Bagus W

  1. Soal Pembuktian Teori bilangan Harap bantu!

    Bantu ngetik. 1. $FPB$ dari $20^{30^{50}} - 2$ dan $20^{30^{45}}-2$ dapat ditulis dalam bentuk $2^x - 2$. Carilah nilai $x$! 2. Jika $m \neq n$, buktikan bahwa $FPB$ dari $\left (a^{2^{m}} + 1, a^{2^{n}} \right )$ adalah $1$ apabila $a$ genap dan $2$ apabila $a$ ganjil. 4. Buktikan bahwa $FPB \left (a^m - 1, a^n -1 \right ) = a^{FPB(m,n)} - 1$ untuk $m \neq n$ dan $m,n \in \mathbb{N}$.
  2. AIME I 2017

    2. \begin{align*} 702 &= am +r ...(1) \\ 787 &= bm + r ...(2) \\ 855 &= cm + r ...(3) \end{align*} dimana $a,b,c \in \mathbb{N}$. Kurangi persamaan $(1)$ dan $(2)$. Maka didapat $85 = (b-a)m$. Kurangi persamaan $(2)$ dan $(3)$. Maka didapat $68=(c - b)m$ Kurangi persamaan $(1)$ dan $(3)$. Maka didapat $153 = (c - a)m$. Diperoleh \begin{align*} 85 &=(b-a)m \Rightarrow 5 \cdot 17 = (b-a)m \\ 68 &= (c - b)m \Rightarrow 4 \cdot 17 = (c - b)m \\ 153 &= (c - a)m \Rightarrow 9 \cdot 17 = (c-a)m \\ \therefore m &= 17 \end{align*} \begin{align*} 412 &= dn + s ...(4) \\722 &= en + s ...(5) \\815 &=fn + s ...(6) \end{align*} dimana $d,e,f \in \mathbb{N}$. Kurangi persamaan $(4)$ dan $(5)$. Maka didapat $310 = (e - d)n$. Kurangi persamaan $(5)$ dan $(6)$. Maka didapat $93 = (f-e)n$. Kurangi persamaan $(4)$ dan $(6)$. Maka didapat $403 = (f-d)n$. Diperoleh \begin{align*} 310 &=(e-d)n \Rightarrow 10 \cdot 31 =(e-d)n \\ 93 &= (f-e)n \Rightarrow 3 \cdot 31 = (f-e)n \\ 403 &= (f-e)n \Rightarrow 13 \cdot 31 = (f-d)n \\ \therefore n &= 31 \end{align*} Kita peroleh bahwa $m = 17$ dan $n = 31$. \begin{align*} 702 &\equiv 5 \mod 17 \\ \therefore r &= 5 \\ 412 &\equiv 9 \mod 31 \\ \therefore s &= 9 \end{align*} Jadi, nilai dari $p+q+r+s=17+31+5+9=62$.
  3. Bentuk yang lebih sederhana

    Kadang lupa kdang ingat
  4. Bentuk yang lebih sederhana

    Apakah ada bentuk yang lebih sederhana dari \[\left (\frac{1}{2015}\right )^{\log_{2015}4} \]
  5. Nilai minimum

    Untuk $a,b,c > 0$ dan $abc = 1$, tentukan nilai minimum dari \[ \frac{b+c}{\sqrt{a}} + \frac{a+c}{\sqrt{b}} + \frac{a+b}{\sqrt{c}}\]
  6. [OSP 2015 Esai No 2] Sistem persamaan siklis

    \begin{align*} (x+1)^2 &=x+y+2 \\ x^2 + 2x +1 &= x + y +2 \\ \therefore x^2 + x &= y+1 ...(1 \\ (y+1)^2 &=y+z+2 \\ y^2 + 2y +1 &= y+z+2 \\ \therefore y^2 + y &=z +1 ...(2 \\ (z+1)^2 &=z + x + 2 \\ z^2 + 2z + 1 &= z +x +2 \\ \therefore z^2 + z &= x +1 ...(3 \end{align*} Kalikan ketiga persamaan. \begin{align*} (x^2 + x)(y^2 + y)(z^2 + z) &= (y+1)(z+1)(x+1) \\ x(x+1) \cdot y(y+1) \cdot z(z+1) &= (x+1)(y+1)(z+1) \\ \therefore xyz &= 1 \end{align*} Jumlahkan ketiga persamaan. \begin{align*} (x^2 +x) + (y^2 + y) + (z^2 + z) &= (y +1) + (z + 1) + (x + 1) \\ x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z&= x + y + z + 3 \\ \therefore x^2 + y^2 + z^2 &=3 \end{align*} Perhatikan bahwa $x^2 + y^2 + z^2 \ge 0$. Sehingga menyebabkan \begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 &\ge 3xyz \\ \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 &\ge 3 \end{align*} Kesamaan terjadi jika $x=y=z$, maka diperoleh nilai $x=y=z=\pm 1$.
  7. Bentuk yang lebih sederhana

    Bisa ditulis saja? Soalnya saya kdng lupa kdng ingat kalau sifat logaritma. Klo di buku OSN SMP ku kyknya ada, tp saya sdng di luar kota dan bukunya gk kebawa
  8. ASK

    Apakah ini benar? Jika salah berikan alasannya.
  9. Edisi hari Selasa

    Diketahui \[S=1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + 3! \cdot 3 + ... + k! \cdot k\] dengan $k \in \mathbb{N}$. Buktikan bahwa sisa dari $\frac{S}{k+1}$ adalah $k$.
  10. Edisi hari Selasa

    Itu pakai \equiv, jadnya $\equiv$
  11. Semua fungsi

    Tentukan semua fungai $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ yang memenuhi \[f(x + y) - f(y) =x\]
  12. OSP SMA 2007 Bagian Pertama

    19. \begin{align*} \frac{x + y}{2} + \sqrt{xy} &=54 \\ x+y=2\sqrt{xy} &= 108 \\ \left (\sqrt{x} + \sqrt{y} \right )^2 &= 108 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} &= 6\sqrt{3} \end{align*} Diketahui $x,y \in \mathbb{N}$. Agar mendapatkan $6\sqrt{3}$, maka $x = a\sqrt{3}$ dan $y=b\sqrt{3}$. \begin{align*} \sqrt{x} + \sqrt{y}& = 6\sqrt{3} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} &= 5\sqrt{3} + \sqrt{3} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} &= \sqrt{75} + \sqrt{3} \\ \therefore x &=75 \\ \therefore y &=3 \end{align*} Maka diperoleh pasangan $(x,y)$ adalah $(75, 3)$.
  13. ASK

    sebenarnya bag. atas sigma melambangkan apa?
  14. ASK

    Pada ekspansi $(a+b)^2$ kan banyak sukunya ada $3$ serta $(a+b)^3$ ada $4$ suku.
  15. Edisi hari Rabu

    Kan k dimulai dari 0. Jadi, didapat nanti k = 0, 1, 2, ..., 2017
  16. Edisi hari Rabu

    Jika \[\sum_{n=0}^{2018}2^{4n} \binom{2017}{n}=p^q\] dimana $\text{FPB}(p,q)=1$ serta $p,q \in \mathbb{N}$, tentukan nilai $p+q$.
  17. Nilai $x$

    Tentukan nilai $x$ yang memenuhi \[^2\log(^4\log x) = ^4\log(^2\log x) \]
  18. OSP SMA 2008 Bagian Pertama

    20. Berdasarkan $ (a+b)^n = \binom{n}{0}a^nb^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n}a^0b^n \\ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ Maka kita dapatkan $\begin{align*} \displaystyle (1+3)^x &= \sum_{k=0}^{1004} 3^k1^{1004-k} \binom{x}{k} \\ \rightarrow 4^{1004} & = \sum_{k=0}^{1004}3^k \\ \therefore \sum_{k=0}^{1004} 3^k=2^{2008} \end{align*}$
  19. Buku Olimpiade Matematika SD

    Mnurut saya jika prima akan tidak ditemukan polanya
  20. Bilangan Pangkat dan Akar

    Berdasarkan bentuk $a^2 - b^2 = (a+b)(a - b)$, didapatkan $\begin{align*} a^2 - b^2 &=(a+b)(a-b) \\ \therefore a + b &=\frac{a^2 - b^2}{a - b} \end{align*}$ Maka diperoleh $\begin{align*} 4^x - 3^y &=(3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) \\ 4^x - 3^y & = \frac{3^2 - 4^2}{3 - 4} \cdot \frac{3^4 - 4^4}{3^2 - 4^2} \cdot \frac{3^8 - 4^8}{3^4 - 4^4} \cdot \frac{3^{16} - 4^{16}}{3^8 - 4^8} \cdot \frac{3^{32} - 4^{32}}{3^{16} - 4^{16}} \cdot \frac{3^{64} - 4^{64}}{3^{32} - 4^{32}} \\4^x - 3^y & = \frac{3^{64} - 4^{64}}{3 - 4} \\4^x - 3^y & = \frac{3^{64} - 4^{64}}{-1} \\4^x - 3^y & = 4^{64} - 3^{64} \\ \therefore x = y = 64 \end{align*}$ Maka $x-y=64-64=0$.
  21. OSN SMA

    Diperoleh $ 13 \equiv 3 (\mod 10)$ Perhatikan pola berikut. $ 3^1 \equiv 3 (\mod 10) \\ 3^2 \equiv 9 (\mod 10) \\ 3^3 \equiv 7 (\mod 10) \\ 3^4 \equiv 1 (\mod 10) \\ 3^5 \equiv 3 (\mod 10) (Berulang)$ Pola tersebut berulang setelah 4 periode. Maka $2011 \equiv 3 (\mod 4)$. Sehingga angka satuan dari $13^{2011}$ samadengan angka satuan dari $3^3$, yaitu $7$. Kita juga dapat menggunakan carq berikut. $3^{2011} \equiv (3^4)^{502} \cdot 3^3 (\mod 10) \\ 3^{2011} \equiv 1^{502} \cdot 27 (\mod 10) \\ 3^{2011} \equiv 27 (\mod 10) \\ 3^{2011} \equiv 7 (\mod 10)$ Maka angka satuan dari $3^{2011}$ samadengan angka satuan dari $13^{2011}$, yaitu $7$.
  22. Apapun ini

    Meneruskan perhitungan yang diatas ._. Kita tahu bahwa $\displaystyle \sum_{n=1}^m n^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$. $=\frac{(1+2+3+...+52)^2-(1^2+2^2+3^2+...+52^2)}{2}$ $ =\frac{\frac{(52 \times 53)^2}{2^2}-\frac{52 \times 53 \times 105}{6}}{2}$ $= \frac{(26 \times 53)^2 - 26 \times 53 \times 35}{2} $ $= \frac{26^2 \times 53^2 - 26 \times 53 \times 35}{2} $ $ =\frac{26 \times 53(26 \times 53 - 35)}{2} $ $ = 689 \times 1325$
  23. Biar Rame

    Batas nilai $x \ge -2$. $\begin{align*} x^3-3x &=\sqrt{x+2} \\ (x^3 - 3x)^2 &= x+2 \\ x^6 + 9x^2 - 6x^4 -x-2 & = 0 \\ x^6 -6x^4 + 9x^2 - x - 2 &=0 \end{align*}$ Terhenti sampai sini + gak ada kertas oret-oretan. Mnurutku pakai dalil vietta selanjutnya.
  24. Nilai dari $x+\frac{1}{x}$

    Jika nilai dari $x+\sqrt{x}=1$, tentukan nilai $x+\frac{1}{x}$.
  25. Tentukan bentuk sederhana dari \[\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{...}}}}}\]
×