Rimba Erlangga

Contributor (Candidate)
  • Content count

    42
  • Joined

  • Last visited

Community Reputation

9 Neutral

About Rimba Erlangga

  • Rank
    Member

Profile Information

  • Gender
    Male
  • Location
    Denpasar
  • Interests
    NT?

Contact Methods

  • Website URL
    http://facebook.com/m.rimba.erlangga

Recent Profile Visitors

290 profile views
  1. Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  2. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan-bilangan real yang nilai mutlaknya tidak lebih besar dari $1$. Buktikan bahwa \[\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|} \leq 2+\sqrt{2}\].
  3. Diberikan segitiga $ABC$ yang ketiga garis tingginya berpotongan di titik $H$. Tentukan semua titik $X$ pada sisi $BC$ sehingga pencerminan $H$ terhadap titik $X$ terletak pada lingkaran luar segitiga $ABC$.
  4. Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil.
  5. Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$!
  6. Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  7. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan-bilangan real yang nilai mutlaknya tidak lebih besar dari $1$. Buktikan bahwa \[\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|} \leq 2+\sqrt{2}\].
  8. Diberikan segitiga $ABC$ yang ketiga garis tingginya berpotongan di titik $H$. Tentukan semua titik $X$ pada sisi $BC$ sehingga pencerminan $H$ terhadap titik $X$ terletak pada lingkaran luar segitiga $ABC$.
  9. Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil.
  10. Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$!
  11. $\textbf{Bagian Isian}$ Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ... Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ... Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ... Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ... Ita memilih bilangan di antara $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ... Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ... Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ... Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ... Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit. Diberikan bilangan real positif $k$. Pada suatu segitiga $ABC$, titik-titik $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ sehingga \[\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=k.\] Jika $[ABC]$ dan $[DEF]$ berturut-turut menyatakan luas segitiga $ABC$ dan $DEF$, maka $\frac{[DEF]}{[ABC]} = $... Untuk sebarang bilangan asli $k$, misalkan $I_k = 10\dots064$ dengan $0$ di antara $1$ dan $6$ sebanyak $k$. Jika $N(k)$ menyatakan banyaknya faktor $2$ pada faktorisasi prima dari $I_k$, maka nilai maksimum untuk $N(k)$ adalah ... Jika $x$, $y$, dan $z$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \[x+\frac{1}{y} = 4, y+\frac{1}{z} = 1, z+\frac{1}{x} = \frac{7}{3},\] maka nilai $xyz$ adalah ... Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa diapit oleh dua siswa lebih tinggi dari dirinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tau$ sebagai lingkaran luarnya. Tali busur $AD$ adalah garis bagi dalam sudut $BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Tali busur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotong $AC$ di titik $M$. Jika $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\frac{AM}{MC}$ adalah ... Bilangan asli empat-digit $n$ habis dibagi oleh $7$. Bilangan asli $k$, yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit $n$ dari belakang ke depan, juga habis dibagi oleh $7$. Selain itu, diketahui bahwa $n$ dan $k$ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh $37$. Jika $k>n$, maka jumlah dari semua $n$ yang memenuhi adalah ... Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\left \lfloor{x}\right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i\geq1}$ barisan bilangan real dengan $a_1=20,17$. Jika \[a_1, a_2, ... , a_{11} \textrm{ dan} \left \lfloor{a_1}\right \rfloor, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{10}}\right \rfloor\]masing-masing merupakan barisan aritmetika; sedangkan $\left \lfloor{a_1}\right \rfloor\, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{11}}\right \rfloor$ bukan barisan aritmetika, maka nilai minimum dari $a_2-a_1-\left \lfloor{a_2-a_1}\right \rfloor$ adalah ... Di suatu Pusat Jajanan terdapat empat kedai yang masing-masing menjual tiga jenis makanan. Ada $n$ orang yang masing-masing membeli tepat satu makanan pada setiap kedai. Untuk setiap tiga pembeli, ada paling sedikit satu kedai yang ketiga jenis makanannya terbeli. Nilai $n$ maksimum yang mungkin adalah ... Diketahui segi tujuh beraturan $ABCDEFG$. Jarak dari $A$ ke garis $BC$, $BE$, $CF$, dan $EF$ berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$, dan $d$. Nilai $\frac{ad}{bc}$ adalah ... Diketahui $f(x)$ polinom berderajat $n$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat yang memenuhi $f(0) = 39$ dan $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = ... = f(x_n) = 2017$, dengan $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ semua berbeda. Bilangan $n$ terbesar yang mungkin adalah ... $\textbf{Bagian Uraian}$ Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$! Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil. Diberikan segitiga $ABC$ yang ketiga garis tingginya berpotongan di titik $H$. Tentukan semua titik $X$ pada sisi $BC$ sehingga pencerminan $H$ terhadap titik $X$ terletak pada lingkaran luar segitiga $ABC$. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan-bilangan real yang nilai mutlaknya tidak lebih besar dari $1$. Buktikan bahwa \[\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|} \leq 2+\sqrt{2}\]. Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  12. Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ... Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ... Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ... Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ... Ita memilih bilangan di antara $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ... Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ... Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ... Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ... Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit. Diberikan bilangan real positif $k$. Pada suatu segitiga $ABC$, titik-titik $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ sehingga \[\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=k.\] Jika $[ABC]$ dan $[DEF]$ berturut-turut menyatakan luas segitiga $ABC$ dan $DEF$, maka $\frac{[DEF]}{[ABC]} = $... Untuk sebarang bilangan asli $k$, misalkan $I_k = 10\dots064$ dengan $0$ di antara $1$ dan $6$ sebanyak $k$. Jika $N(k)$ menyatakan banyaknya faktor $2$ pada faktorisasi prima dari $I_k$, maka nilai maksimum untuk $N(k)$ adalah ... Jika $x$, $y$, dan $z$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \[x+\frac{1}{y} = 4, y+\frac{1}{z} = 1, z+\frac{1}{x} = \frac{7}{3},\] maka nilai $xyz$ adalah ... Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa diapit oleh dua siswa lebih tinggi dari dirinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tau$ sebagai lingkaran luarnya. Tali busur $AD$ adalah garis bagi dalam sudut $BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Tali busur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotong $AC$ di titik $M$. Jika $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\frac{AM}{MC}$ adalah ... Bilangan asli empat-digit $n$ habis dibagi oleh $7$. Bilangan asli $k$, yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit $n$ dari belakang ke depan, juga habis dibagi oleh $7$. Selain itu, diketahui bahwa $n$ dan $k$ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh $37$. Jika $k>n$, maka jumlah dari semua $n$ yang memenuhi adalah ... Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\left \lfloor{x}\right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i\geq1}$ barisan bilangan real dengan $a_1=20,17$. Jika \[a_1, a_2, ... , a_{11} \textrm{ dan} \left \lfloor{a_1}\right \rfloor, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{10}}\right \rfloor\]masing-masing merupakan barisan aritmetika; sedangkan $\left \lfloor{a_1}\right \rfloor\, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{11}}\right \rfloor$ bukan barisan aritmetika, maka nilai minimum dari $a_2-a_1-\left \lfloor{a_2-a_1}\right \rfloor$ adalah ... Di suatu Pusat Jajanan terdapat empat kedai yang masing-masing menjual tiga jenis makanan. Ada $n$ orang yang masing-masing membeli tepat satu makanan pada setiap kedai. Untuk setiap tiga pembeli, ada paling sedikit satu kedai yang ketiga jenis makanannya terbeli. Nilai $n$ maksimum yang mungkin adalah ... Diketahui segi tujuh beraturan $ABCDEFG$. Jarak dari $A$ ke garis $BC$, $BE$, $CF$, dan $EF$ berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$, dan $d$. Nilai $\frac{ad}{bc}$ adalah ... Diketahui $f(x)$ polinom berderajat $n$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat yang memenuhi $f(0) = 39$ dan $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = ... = f(x_n) = 2017$, dengan $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ semua berbeda. Bilangan $n$ terbesar yang mungkin adalah ...
  13. Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ... Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ... Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ... Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ... Ita memilih bilangan di antara ${1,2,3,4,5,6,7}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ... Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ... Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ... Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ... Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit.
  14. Diberikan $15$ titik berbeda pada segitiga $ABC$ sebagai berikut : tiga titik adalah titik $A$, $B$ dan $C$ ; $3$ titik lain pada sisi $AB$ ; $4$ titik lain pada sisi $BC$ ; dan $5$ titik lain pada sisi $CA$. Tentukan banyak segitiga dengan luas positif di mana $15$ titik tadi sebagai titik sudutnya. Jika $702$, $787$, dan $855$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $m$, sisa bagi positifnya adalah $r$. Jika $412$, $722$, dan $815$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $n$, sisa bagi positifnya adalah $s$, dengan $s \neq r$. Tentukan $m+n+r+s$. Untuk suatu bilangan bulat positif $n$, misalkan $d_{n}$ adalah digit satuan dari $1+2 +\dots+ n$. Tentukan sisanya jika $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ dibagi oleh $1000$. Sebuah limas segitiga mempunyai panjang sisi alas $20$, $20$, dan $24$. Ketiga sisi tegaknya mempunyai panjang $25$. Volume dari limas tersebut adalah $m\sqrt{n}$, dengan $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, dan $n$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari suatu prima apapun. Tentukan $m+n$. Sebuah bilangan rasional jika ditulis dalam basis $8$ berbentuk $\overline{ab},\overline{cd}$ dengan digit-digitnya tidak ada yang bernilai $0$, dan berbentuk $\overline{bb},\overline{ba}$ jika ditulis dalam basis $12$. Tentukan bilangan desimal $\overline{abc}$. Diberikan sebuah segitiga sama kaki yang besar dua sudut yang sama besar masing-masing adalah $x$. Dipilih sebarang dua titik pada lingkaran luarnya. Peluang garis yang ditarik dari dua titik tersebut memotong segitiga adalah $\frac{14}{25}$. Tentukan selisih dari nilai terbesar $x$ dan nilai terkecil $x$ yang mungkin. Untuk suatu bilangan bulat non-negatif $a$ dan $b$ dengan $a+b \leq 6$, misalkan $T(a,b) = \left(\begin{array}{c} 6 \\ a \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\ b \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\ a+b \end{array}\right)$. Misalkan $S$ adalah jumlah dari semua nilai $T(a,b)$ yang mungkin, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat non-negatif dengan $a+b \leq 6$. Tentukan sisanya jika $S$ dibagi oleh $1000$. Sebarang dua bilangan real dipilih secara bersamaan dari interval $(0, 75)$. Misalkan $O$ dan $P$ dua titik pada bidang dengan $OP = 200$. Misalkan $Q$ dan $R$ adalah dua titik sehingga $\angle POQ$ dan $\angle POR$ berturut-turut sebesar $a$ dan $b$, dan $\angle OQP$ dan $\angle ORP$ keduanya siku-siku. Peluang bahwa $QR \leq 100$ adalah $\frac{m}{n}$, di mana $m$ dan $n$ keduanya bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$. Misalkan $a_{10} = 10$ dan untuk setiap bilangan bulat positif $n > 10$ berlaku $a_{n} = 100a_{n-1} + n$. Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n > 10$ sehingga $a_n$ merupakan kelipatan $99$. Diberikan $z_1 = 18+3i$, $z_2 = 18+39i$, dan $z_3 = 78+99i$, dengan $i = \sqrt{-1}$. Misalkan $z$ adalah satu-satunya bilangan kompleks di mana $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} . \frac{z - z_2}{z - z_3}$ adalah bilangan real dengan bagian imajiner dari $z$ bernilai sebesar mungkin. Tentukan bagian real dari $z$. Diberikan $9$ angka $1, 2, 3, ... ,9$ yang akan ditempatkan dalam suatu petak $3\times3$. Misalkan $a_1, a_2$, dan $a_3$ berturut-turut adalah median dari angka-angka pada baris pertama, kedua, dan ketiga, dan $m$ adalah median dari $\{a_1, a_2, a_3\}$. Misalkan $Q$ adalah banyak kemungkinan yang mungkin saat $m = 5$. Tentukan sisanya jika $Q$ dibagi oleh $1000$. Suatu himpunan $S$ disebut bebas-kali jika tidak ada $a, b, c \in S$ ($a, b, c$ tidak harus berbeda) sehingga $ab = c$. Sebagai contoh, himpunan kosong dan himpunan $\{16,20\}$ adalah himpunan bebas-kali, sedangkan himpunan $\{4,16\}$ dan $\{2,8,16\}$ bukan himpunan bebas-kali. Tentukan banyaknya himpunan bagian yang bebas-kali dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Untuk setiap $m \geq 2$, misalkan $Q(m)$ adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga untuk setiap $n \geq Q(m)$, selalu ada bilangan kubik sempurna $k^3$ yang memenuhi $n < k^3 < mn$. Tentukan sisanya jika $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ dibagi oleh $1000$. Diberikan $a > 1$ dan $x > 1$ yang memenuhi $\log_{a}(\log_{a}(\log_{a} 2) + \log_{a} 24 + 128)$ dan $\log_{a} (\log_{a} x) = 256$. Tentukan sisanya jika $x$ dibagi oleh $1000$. Pada gambar, luas terkecil dari segitiga sama sisi yang sisi-sisinya terletak pada segitiga siku-siku yang panjanganya $2\sqrt{3}$, $5$, dan $\sqrt{37}$ adalah $\frac{m \sqrt{p}}{n}$, dengan $m$, $n$, dan $p$ adalah bilangan bulat positif, $m$ dan $n$ relatif prima, dan $p$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari prima apapun. Tentukan $m+n+p$.
  15. Bentuk paling sederhana dari $\frac{3^{2014}-3^{2011}+130}{3^{2011}+5}$ adalah ... Banyak persegi pada gambar berikut adalah ... Berikut adalah gambar sebuah persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi yang dibuat dari batang korek api. Sebagai contoh, bentuk 1x5 memerlukan 16 batang korek api, bentuk 2x5 memerlukan 27 batang korek api, seperti gambar berikut. Banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat persegi panjang dengan bentuk 51x5 adalah ... Jika $2 + 22 + 222 + ... + 222...222 = M$, dengan suku dari penjumlahan terakhir memiliki 2014 buah angka 2, maka tiga angka terakhir dari $M$ adalah ... Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{(x-1)(x^2+6)}{x+3} \leq x-1$ adalah ... Jika bilangan 2014 dinyatkaan sebagai jumlah dari bilangan-bilangan asli berurutan, maka bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ... Delapan pensil dengan warna berbeda akan diletakkan dalam dua kotak mini untuk kepentingan promosi. Banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil-pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah ... Jika hasil penjumlahan empat dari enam pecahan $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{20}$, dan $\frac{1}{40}$ adalah $\frac{9}{10}$, maka hasil kali dua pecahan lainnya adalah ... Perhatikan gambar di bawah ini. $ABC$ adalah segitiga sama sisi. $PQ$ tegak lurus $AB$, $PS$ tegak lurus $AC$, dan $PR$ tegak lurus $BC$. Jika $PQ = 1$, $PR = 2$, dan $PS = 3$, maka $AB$ = ... Diberikan dua segitiga dan delapan persegi dengan sifat-sifat berikut. i) Dua segitiga siku-siku berukuran sama. Panjang sisi tegaknya 2 dan 4 satuan. Kedua segitiga tersebut berwarna berbeda, satu berwarna biru, dan lainnya berwarna ungu. ii) Delapan persegi berukuran sama. Panjang sisi-sisinya 1 satuan. Tiga persegi berwarna merah, tiga persegi berwarna kuning, dan dua lainnya berwarna hijau. Dua segitiga dan delapan persegi tersebut akan disusun berimpitan sehingga membentuk persegi berukuran 4x4 satuan yang akan dipakai sebagai hiasan dinding. Dengan memperhatikan komposisi warna yang berbeda, banyak cara membentuk persegi berukuran 4x4 satuan di atas adalah ...