-_-

Administrators
  • Content count

    459
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    47

Everything posted by -_-

  1. Tentukan nilai dari $1+2-3-4+5+6-7-8+\dotsc+2013+2014-2015-2016+2017!$ KSM MTs tingkat Nasional 2017, No 1
  2. Adakah bilangan kuadrat sempurna empat angka berbentuk $abab$? Jelaskan.
  3. Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $1:3$. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $5:6$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $\dotsc$
  4. Argumen terakhir harusnya 101 habis membagi 10a+b sih (tapi yha tetep aja ga mungkin, soalnya 10a+b kan rangenya dari 11-99)
  5. Hari Pertama 1. Tentukan nilai dari $1+2-3-4+5+6-7-8+\dotsc+2013+2014-2015-2016+2017!$ 2. Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $1:3$. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $5:6$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $\dotsc$ 3. Adakah bilangan kuadrat sempurna empat angka berbentuk $abab$? Jelaskan. 4. Bilangan-bilangan $A,B,C,$ dan $D$ adalah bilangan bulat positif tiga digit. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $A$ dan $B$ sama dengan FPB dari $C$ dan $D$ . FPB dari $A$ dan $C$ tiga kali $FPB$ dari $C$ dan $D$. FPB dari $B$ dan $D$ lima kali FPB dari $C$ dan $D$ Tentukan satu kemungkinan nilai dari 4-tupel $(A,B,C,D)$ yang memenuhi. Tentukan 4-tupel bilangan yang jumlah keempat bilangan tersebut paling besar. 5. Diketahi dua lingkaran saling lepas berpusat di $P$ dan $Q$. Misalkan $A,B,C$ dan $D$ adalah titik-titik potong antara dua garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran dengan dua garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Buktikan bahwa $A,B,C,D$ terletak pada satu lingkaran.
  6. Diketahi dua lingkaran saling lepas berpusat di $P$ dan $Q$. Misalkan $A,B,C$ dan $D$ adalah titik-titik potong antara dua garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran dengan dua garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Buktikan bahwa $A,B,C,D$ terletak pada satu lingkaran.
  7. Bilangan-bilangan $A,B,C,$ dan $D$ adalah bilangan bulat positif tiga digit. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $A$ dan $B$ sama dengan FPB dari $C$ dan $D$ . FPB dari $A$ dan $C$ tiga kali $FPB$ dari $C$ dan $D$. FPB dari $B$ dan $D$ lima kali FPB dari $C$ dan $D$ Tentukan satu kemungkinan nilai dari 4-tupel $(A,B,C,D)$ yang memenuhi. Tentukan 4-tupel bilangan yang jumlah keempat bilangan tersebut paling besar.
  8. Diberikan sebuah papan catur berukuran $n\times n$. Sebuah pion diletakkan pada kotak paling kiri bawah. Dua pemain, Jihyun dan Ziying, bergantian menggerakkan pion tersebut dengan Jihyun mendapatkan giliran pertama. Pada setiap giliran, pion hanya bisa digerakkan ke kotak yang bertetangga (dua kotak dikatakan bertetangga jika dan hanya jika dua kotak tersebut berbeda dan memiliki sisi persekutuan) dan belum pernah ditempati sebelumnya. Pemain yang tidak bisa menggerakkan pion dinyatakan kalah. Tentukan semua nilai $n$ sedemikian sehingga Jihyun memiliki strategi untuk menang.
  9. Melalui titik sudut $A$ dari jajargenjang $ABCD$, dibuat suatu garis $g$. Buktikan bahwa jarak dari $C$ ke garis $g$ adalah jumlah atau selisih jarak dari $B$ dan $D$ ke $g$.
  10. Diberikan jajargenjang $ABCD$. Titik $E$ dan titik $F$ dipilih berturut-turut pada sisi $BC$ dan $CD$ sedemikian rupa sehingga segitiga $ABE$ dan segitiga $BCF$ mempunyai luas yang sama. Diagonal $BD$ memotong $AE$ dan $AF$ berturut-turut di $M$ dan $N$. Buktikan terdapat segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dengan $BM$, $MN$, dan $ND$.
  11. Lima orang siswa bertemu di sebuah tempat. Sebuah trio adalah pasangan tiga siswa $(A,B,C)$ sehingga $A$ berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ berjabat tangan dengan $C$ atau $A$ tidak berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ tidak berjabat tangan dengan $C$. Jika trio (A,B,C) dan (C,B,A) dianggap sebagai trio yang sama, berapa paling sedikit banyaknya trio yang mungkin?
  12. Lantai dari sebuah aula ditutupi dengan $2017\times2017$ ubin satuan. Luffy mempunyai sejumlah detektor. Setiap detektor yang diletakkan di atas ubin akan menyala jika tepat dibawahnya terdapat emas, dan tidak bereaksi apapun jika tidak ada emas di bawahnya. Luffy meletakkan $k$ buah detektor tepat di atas $k$ buah ubin kemudian dia keluar ruangan. Kemudian Sanji memilih suatu daerah persegi yang ditutupi oleh $1500 \times 1500$ ubin satuan dan menyembunyikan tepat satu koin emas di bawah setiap ubin. Ketika Luffy kembali dan melihat detektor yang tadi dia pasang, dia dapat menentukan letak semua koin yang tadi di tanam Sanji. Tentukan nilai $k$ terkecil agar Luffy selalu dapat menentukan letak semua koin tak peduli daerah manapun yang dipilih Sanji.
  13. Suatu bilangan asli $d$ disebut istimewa jika setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai $a^2+b^2-dc^2$ untuk suatu bilangan bulat $a,b,c$ Tentukan bilangan asli terkecil yang tidak istimewa Tunjukkan bahwa 2017 bilangan istimewa
  14. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang tidak lebih besar dari $2017$ sedemikian sehingga $n$ habis membagi $20^n+17k$ untuk suatu bilangan asli $k$.
  15. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$ sedemikian sehingga \[a^2+f(a)b+(f(b))^2\] adalah bilangan kuadrat sempurna untuk setiap bilangan bulat $a$ dan $b$.
  16. Misalkan $X$ adalah himpunan bilangan real positif takkosong dengan properti sebagai berikut: untuk setiap $p,q,r\in X$, $pq+qr+rp$ adalah bilangan rasional. Buktikan bahwa $\frac{p}{q}$ adalah bilangan rasional untuk setiap $p,q\in X$.
  17. Diberikan polinom $P$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat. Misalkan diketahui bahwa persamaan $P\left( x\right) =0$ mempunyai sedikitnya $9$ solusi bilangan bulat berbeda. Misalkan juga $n$ adalah sebarang bilangan bulat dengan sifat $\left\vert P\left( n\right) \right\vert <2017.$ Buktikan bahwa $P\left( n\right) =0.$
  18. Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $$x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$$ $$x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$$ dengan $x$ dan $y$ berbeda.
  19. Hari Pertama SOAL 1. Melalui titik sudut $A$ dari jajargenjang $ABCD$, dibuat suatu garis $g$. Buktikan bahwa jarak dari $C$ ke garis $g$ adalah jumlah atau selisih jarak dari $B$ dan $D$ ke $g$. SOAL 2. Lima orang siswa bertemu di sebuah tempat. Sebuah trio adalah pasangan tiga siswa $(A,B,C)$ sehingga $A$ berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ berjabat tangan dengan $C$ atau $A$ tidak berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ tidak berjabat tangan dengan $C$. Jika trio (A,B,C) dan (C,B,A) dianggap sebagai trio yang sama, berapa paling sedikit banyaknya trio yang mungkin? SOAL 3. Suatu bilangan asli $d$ disebut istimewa jika setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai $a^2+b^2-dc^2$ untuk suatu bilangan bulat $a,b,c$ Tentukan bilangan asli terkecil yang tidak istimewa Tunjukkan bahwa 2017 bilangan istimewa SOAL 4. Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $$x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$$ $$x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$$ dengan $x$ dan $y$ berbeda. Hari Kedua SOAL 5. Diberikan polinom $P$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat. Misalkan diketahui bahwa persamaan $P\left( x\right) =0$ mempunyai sedikitnya $9$ solusi bilangan bulat berbeda. Misalkan juga $n$ adalah sebarang bilangan bulat dengan sifat $\left\vert P\left( n\right) \right\vert <2017.$ Buktikan bahwa $P\left( n\right) =0.$ SOAL 6. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang tidak lebih besar dari $2017$ sedemikian sehingga $n$ habis membagi $20^n+17k$ untuk suatu bilangan asli $k$. SOAL 7. Diberikan jajargenjang $ABCD$. Titik $E$ dan titik $F$ dipilih berturut-turut pada sisi $BC$ dan $CD$ sedemikian rupa sehingga segitiga $ABE$ dan segitiga $BCF$ mempunyai luas yang sama. Diagonal $BD$ memotong $AE$ dan $AF$ berturut-turut di $M$ dan $N$. Buktikan terdapat segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dengan $BM$, $MN$, dan $ND$. SOAL 8. Lantai dari sebuah aula ditutupi dengan $2017\times2017$ ubin satuan. Luffy mempunyai sejumlah detektor. Setiap detektor yang diletakkan di atas ubin akan menyala jika tepat dibawahnya terdapat emas, dan tidak bereaksi apapun jika tidak ada emas di bawahnya. Luffy meletakkan $k$ buah detektor tepat di atas $k$ buah ubin kemudian dia keluar ruangan. Kemudian Sanji memilih suatu daerah persegi yang ditutupi oleh $1500 \times 1500$ ubin satuan dan menyembunyikan tepat satu koin emas di bawah setiap ubin. Ketika Luffy kembali dan melihat detektor yang tadi dia pasang, dia dapat menentukan letak semua koin yang tadi di tanam Sanji. Tentukan nilai $k$ terkecil agar Luffy selalu dapat menentukan letak semua koin tak peduli daerah manapun yang dipilih Sanji.
  20. Di Sekolah Gasing, kelas 1 terdiri dari beberapa kelas, setiap kelas terdiri dari 31 siswa. Kelas 2 juga ada beberapa kelas, setiap kelas terdiri dari tepat 30 siswa. Demikian pula kelas 3, terdiri dari beberapa kelas, setiap kelas terdiri dari 28 siswa. Setiap hari 1 siswa ditugaskan untuk membaca satu ayat Al-Quran sebelum pelajaran dimulai. Setelah tepat 1 tahun, ternyata setiap siswa telah mendapatkan giliran masing-masing tepat 1 kali. Tunjukkan bahwa banyaknya kelas di sekolah ini tepat ada 12 kelas. Anggap 1 tahun ada 365 hari. Kompetisi Sains Madrasah 2016 MA Insan Cendekia, tingkat nasional
  21. salam kenal riefqy!
  22. Diberikan bilangan real positif $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi $a+b+c=1$. Buktikan bahwa \[\frac{c}{\sqrt{ab+1-c}}+\frac{a}{\sqrt{bc+1-a}}+\frac{b}{\sqrt{ca+1-b}} \geq \frac{3}{\sqrt{7}}.\]
  23. Tentukan semua triple bilangan prima $(p_1,p_2,p_3)$ sedemikian sehingga \[p_i-1\mid p_1p_2p_3-1\quad \text{dan}\quad p_i+1\mid p_1p_2p_3+1\] untuk setiap $i=1,2,3$.
  24. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $f(n)$ sebagai banyaknya angka 1 yang muncul pada representasi desimal semua bilangan asli dari $1$ sampai dengan $n$. Sebagai contoh, $f(7)=1$ dan $f(17)=10$. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku \[f\left(10^n\right)=n10^{n-1}+1.\]
  25. Diberikan lingkaran $\Gamma$ yang berpusat di titik $O$, dengan $AB$ sebagai diameternya. Titik $P$ terletak pada garis singgung $\Gamma$ di titik $B$. Garis $PA$ memotong $\Gamma$ untuk kedua kalinya di titik $C$. Misalkan $D$ titik simetri dari $C$ terhadap $O$. Garis $PD$ memotong $\Gamma$ untuk kedua kalinya di titik $E$. Buktikan bahwa garis-garis $AE$, $BC$, dan $PO$ melalui satu titik (sebut titik $M$). Tentukan lokasi titik $P$ sehingga luas segitiga $ABM$ maksimum. Selanjutknya, hitung luas maksimum segitiga $ABM$, yang dinyatakan dalam radius $\Gamma$. Tes 1 Nomor 2 Pelatnas Tahap 3 IMO 2016