Jump to content

-_-

Administrators
  • Content count

    459
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    47

Everything posted by -_-

  1. Titik tengah dan segienam

    Di sebuah segitiga ABC lancip, misal K, L, dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC,CA,AB. Garis yang melewati L dan tegak lurus AB bertemu garis melewati M dan tegak lurus AC di X. Garis yang melewati M dan tegak lurus BC bertemu garis melewati K dan tegak lurus AB di Y. Garis yang melewati K dan tegak lurus CA bertemu garis melewati L dan tegak lurus CB di Z. Buktikan luas segienam LXMYKZ adalah setengah luas ABC.
  2. $P(x)$ merupakan sebuah polinom berkoefisien bulat. Diketahui ada $y$ real yang merupakan akar dari polinom $P(x)$ dan $P(P(P(x)))$. Buktikan ada $z$ bulat yang merupakan akar dari polinom $P(x)$ dan $P(P(P(x)))$.
  3. Panjang ketiga sisi $a, b, c$ dengan $a \le b \le c$, sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat. Tentukan semua barisan $(a, b, c)$ agar nilai keliling dan nilai luas segitiga tersebut sama.
  4. Tentukan semua tripel bilangan real $(x,y,z)$ yang memenuhi sistem persamaan $$ (x+1)^2=x+y+2$$ $$(y+1)^2=y+z+2$$ $$(z+1)^2=z+x+2 $$
  5. OSK SMA 2017

    Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah... Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut: Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan Adi bukan juara pertama Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah... Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah... Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah... Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah... Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah... Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah... Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah... Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah... Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah... Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan... Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah... Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah... Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah... Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah... Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$ memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah... Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah... Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...
  6. 1.Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah $\ldots$ Sejumlah uang terdiri dari koin pecahan Rp. 500, Rp. 200, dan Rp. 100 dengan nilai total Rp. 100.000. Jika nilai uang pecahan 500-an setengah dari nilai uang pecahan 200-an, tetapi tiga kali nilai uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin adalah $\ldots$ Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan panjang lebih panjang dari panjang sisi terpendeknya. Luas segitiga itu adalah $\ldots$ satuan luas. Di antara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah $\ldots$ Seorang pedagang mobil bekas menjual dua buah mobil dengan harga sama. Ia merugi 10% untuk mobil pertama, tetapi impas (kembali modal) untuk kedua mobil. Persentase keuntungan pedagang itu untuk mobil kedua adalah $\ldots$ Dona menyusun lima buah persegi yang kongruen menjadi sebuah bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm$^2$, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah $\ldots$ Empat tim sepakbola mengikuti sebuah turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, sebuah tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah $\ldots$ Untuk bilangan asli $n$, didefinisikan $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$. Dalam bentuk sederhana, $1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + 3! \cdot 3 + \ldots + n! \cdot n = \ldots$ Titik $P$ terletak di kuadran I pada garis $y = x$. Titik $Q$ terletak pada garis $y = 2x$ demikian sehingga $PQ$ tegak lurus terhadap garis $y = x$ dan $PQ = 2$. Maka koordinat $Q$ adalah $\ldots$ Himpunan semua bilangan asli $n$ sehingga $6n + 30$ adalah kelipatan $2n + 1$ adalah $\ldots$ Suku konstanta pada ekspansi $\left( 2x^2 - \dfrac{1}{x} \right) ^ 9$ adalah $\ldots$ Absis titik potong garis $l$ dengan sumbu-$x$ dan ordinat titik potong $l$ dengan sumbu-$y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $l$ juga melalui titik $(3, 4)$, persamaan $l$ adalah $\ldots$ Tujuh belas permen dikemas ke dalam kantong-kantong sehingga banyak permen dalam setiap dua kantong berselisih paling banyak 1. Banyaknya cara mengemas permen tersebut ke dalam paling sedikit dua kantong adalah $\ldots$ Jika nilai maksimum $x + y$ pada himpunan $\{(x, y) \mid x \ge 0, y \ge 0, x + 3y \le 6, 3x + y \le a\}$ adalah 4, haruslah $a = \ldots$ Sebuah kubus berukuran $5 \times 5 \times 5$ disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah $\ldots$ Sebuah papan persegi dibagi ke dalam $4 \times 4$ petak dan diwarnai seperti papan catur. Setiap petak diberi nomor dari 1 hingga 16. Andi ingin menutup petak-petak pada papan dengan 7 kartu seukuran $2 \times 1$ petak. Agar ke-7 kartunya dapat menutupi papan, ia harus membuang dua petak. Banyak cara ia membuang dua petak adalah $\ldots$ Bilangan-bilangan asli 1, 2, $\ldots$ , $n$ dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah $35\dfrac{7}{17}$. Bilangan $n$ yang memungkinkan ini terjadi adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $A$, titik $D$ pada $AC$ dan titik $F$ pada $BC$. Jika $AF \perp BC$ dan $BD = DC = FC = 1$, maka $AC = \ldots$ Di antara semua solusi bilangan asli $(x, y)$ dari persamaan $\dfrac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = 54$, solusi dengan $x$ terbesar adalah $(x, y) = \ldots$ Misalkan $V$ adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat bilangan bulat dan $X$ adalah himpunan titik tengah dari semua pasangan titik pada himpunan $V$. Untuk memastikan bahwa ada angota $X$ yang juga memiliki koordinat bilangan bulat, banyak anggota $V$ paling sedikit harus $\ldots$
  7. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah $\ldots$ Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak $\ldots$ Jika $0 < b < a $ dan $ a^2 + b^2 = 6ab $, maka $ \dfrac{a+b}{a-b} = \ldots $ Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip $ABC$, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah $\ldots$ Dalam bidang $XOY$, banyaknya garis yang memotong sumbu $X$ di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu $Y$ di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik $(4, 3)$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$, $AD$ tegak lurus $BC$ sedemikian rupa sehingga $DC = 2$ dan $BD = 3$. Jika $\angle BAC = 45^\circ$, maka luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat yang memenuhi $y^2 + 3x^2y^2 = 30x^2 + 517$, maka $3x^2y^2 = \ldots$ Diberikan segitiga $ABC$, dengan $BC = a$, $AC = b$, dan $\angle C = 60^\circ$. Jika $\dfrac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$, maka besarnya sudut $B$ adalah $\ldots$ Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50\% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50\% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$, dengan $BC = 5$, $AC = 12$, dan $AB = 13$. Titik $D$ dan $E$ berturut-turut pada $AB$ dan $AC$ sedemikian rupa sehingga $DE$ membagi segitiga $ABC$ menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum $DE$ adalah $\ldots$ Misalkan $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah bilangan rasional. Jika diketahui persamaan $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2008}$. Nilai dari $a + b + c + d$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dengan sisi-sisi $a$, $b$, dan $c$. Nilai $a^2 + b^2 + c^2$ sama dengan 16 kali luas segitiga $ABC$. Besarnya nilai $\cot A + \cot B + \cot C$ adalah $\ldots$ Diberikan $f(x) = x^2 + 4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi $f(xy) + f(y - x) = f(y + x)$. Nilai minimum dari $x + y$ adalah $\ldots$ Banyak bilangan bulat positif $n$ kurang dari 2008 yang mempunyai tepat $\dfrac{n}{2}$ bilangan kurang dari $n$ dan relatif prima terhadap $n$ adalah $\ldots$ Suatu polinom $f(x)$ memenuhi persamaan $f(x^2) - x^3f(x) = 2(x^3 - 1)$ untuk setiap $x$ bilangan real. Derajat (pangkat tertinggi $x$) $f(x)$ adalah $\ldots$ Anggap satu tahun 365 hari. Peluang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama adalah $\ldots$ Tiga bilangan dipilih secara acak dari $\{1,2,3, \ldots,2008\}$. Peluang jumlah ketiganya genap adalah $\ldots$ Misalkan $\lvert X \rvert$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X$. Jika $\lvert A \cup B \rvert = 10$ dan $\lvert A \rvert = 4$, maka nilai yang mungkin untuk $\lvert B \rvert$ adalah $\ldots$ Diketahui $AD$ adalah garis tinggi dari segitiga $ABC$, $\angle DAB =\angle ACD$, $AD = 6$, $BD = 8$. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Nilai dari $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{1004} 3^k \binom{1004}{k} = \ldots$
  8. Adakah bilangan kuadrat sempurna empat angka berbentuk $abab$? Jelaskan.
  9. Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak $\ldots$ Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009 = 0$ adalah $\ldots$ Bilangan rasional $a < b < c$ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan \[ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 3. \] Banyaknya bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah $\ldots$ Misalkan $\mathbb{N}$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif dan \[ S = \left\lbrace n \in \mathbb{N} \left\lvert \dfrac{n^{2009}+2}{n+1} \in \mathbb{N} \right. \right\rbrace . \] Banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tan CAB = \dfrac{22}{7}$. Melalui titik sudut $A$ ditarik garis tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi $BC$ menjadi segmen-segmen dengan panjang 3 dan 17. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Nilai minimum dari $f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga dengan panjang dari ketiga garis tinggi segitiga itu merupakan bilangan bulat. Jika panjang kedua garis tingginya adalah 10 dan 6, maka panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah $\ldots$ Suatu fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ mempunyai sifat $f(x + 1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ untuk setiap $x \in \mathbb{Z}$. Jika $f(2) = 2$, maka nilai fungsi $f(2009)$ adalah $\ldots$ Diketahui segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang sisi-sisinya $a$, $b$, dan $c$ serta $a < b < c$. Misalkan $r$ dan $R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Jika $\dfrac{r(a + b + c)}{R^2} = \sqrt{3}$, maka nilai dari $\dfrac{r}{a+b+c}$ adalah $\ldots$ Jika $\tan x + \tan y = 25$ dan $\cot x + \cot y = 30$, maka nilai $\tan(x + y)$ adalah $\ldots$ Pada bagian kanan 100! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak $\ldots$ Ada empat pasang sepatu, akan diambil empat sepatu secara acak. Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah $\ldots$ Diketahui $k$, $m$, dan $n$ adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi \[ \dfrac{k}{m} + \dfrac{m}{4n} = \dfrac{1}{6}. \] Bilangan $m$ terkecil yang memenuhi adalah $\ldots$ Bilangan prima $p$ yang memenuhi $(2p - 1)^3 + (3p)^2 = 6^p$ ada sebanyak $\ldots$ Jika $x_1, x_2, \ldots , x_{2009}$ bilangan real, maka nilai terkecil dari \[ \cos x_1 \sin x_2 + \cos x_2 \sin x_3 + \ldots + \cos x_{2009} \sin x_1 \] adalah $\ldots$ Misalkan $a$, $b$, $c$ adalah akar-akar polinom $x^3 - 8x^2 + 4x - 2$. Jika $f (x) = x^3+px^2+qx+r$ adalah polinomial dengan akar-akar $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$, maka $f (1) = \ldots$ Banyaknya segitiga tumpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi terpanjang 10 adalah $\ldots$ (Catatan: dua segitiga kongruen dianggap sama) Misalkan $n$ bilangan asli terkecil yang mempunyai tepat 2009 faktor dan $n$ merupakan kelipatan 2009. Faktor prima terkecil dari $n$ adalah $\ldots$ Misalkan $p (x) = x^2 -6$ dan $A = \left\lbrace x \in \mathbb{R} \vert p(p(x)) = x \right\rbrace$. Nilai maksimal dari $\left\lbrace |x| : x \in A \right\rbrace$ adalah $\ldots$ Misalkan $q = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ dan $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. Nilai $\lfloor q \lfloor qn \rfloor \rfloor - \lfloor q^2n \rfloor$ untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ adalah $\ldots$
  10. Jika $ a $ dan $ b $ bilangan bulat ganjil dengan $ a > b$, berapa banyakkah bilangan bulat genap di antara $ a $ dan $b$? Agung mendapatkan bahwa nilai rata-rata dari tiga ulangan matematika yang diikutinya adalah 81. Nilai ulangan pertama adalah 85. Nilai ulangan ketiga lebih rendah 4 dari nilai ulangan kedua. Berapakah nilai ulangan kedua Agung? Apakah himpunan jawab dari persamaan $ |x + 2|+ |3x|= 14 $? Keempat bilangan $ 3, 5,7 $ dan $ 8 $ akan diisikan ke dalam kotak-kotak di atas. Berapakah hasil terbesar yang dapat diperoleh? Misalkan $ x, y, z $ tiga bilangan asli berbeda. Faktor persekutuan terbesar ketiganya adalah 12, sedangkan kelipatannya persekutuan terkecil ketiganya adalah 840. Berapakah nilai terbesar bagi $ x + y + z $ Berapakah bilangan bulat positif $ k $ terkecil sehingga $ \underbrace{20032003\dots 2003}_{k} $ habis dibagi 9? Persamaan kuadrat $ 2x^2-2(2a+ 1)x+ a(a-1) =0 $ mempunyai dua akar real $ x_1 $ dan $ x_2 $. Berapakah nilai $ a $ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut sehingga $ x_1< a < x_2 $? Dalam sebuah segitiga $ ABC $ siku-siku samakaki, dibuat persegi $ PQRS $ sebagai berikut : Titik $ P $ pada sisi $ AB $, titik $ Q $ pada sisi $ AC $, sedangkan titik-titik $ R $ dan $ S $ pada sisi miring $ BC $. Jika luas segitiga $ ABC $ adalah $ x $, berapakah luas persegi $ PQRS $? Upik melemparkan $ n $ dadu. Ia menghitung peluang terjadinya jumlah mata dadu sama dengan 6. Untuk $ n $ berapakah peluang tersebut paling besar? Suatu garis vertikal membagi segitiga dengan titik sudut $ (0,0) $, $ (1,1) $ dan $ (9,1) $ menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Apakah persamaan garis tersebut? Misalkan $ m $ dan $ n $ dua bilangan asli yang memenuhi $ m^2-2003=n^2 $. Berapakah $ mn $? Berapakah nilai $ x $ yang memenuhi $ ^4\log(^2\log x)+^2\log(^4\log x)=2 $? Titik $ P $ terletak di dalam persegi $ ABCD $ demikian rupa, sehingga $ AP: BP : CP = 1 : 2: 3 $. Berapakah besar sudut $ APB $? Dengan mengkombinasikan ketiga warna dasar merah, kuning, dan biru dapat dibentuk warna-warna yanglain. Misalkan terdapat 5 kaleng cat warna merah, 5 kaleng warna kuning, dan 5 kaleng warna biru. Budi boleh memilih kaleng manapun untuk mencampurkan warna, dan semua cat dalam sebuah kaleng harus dipakai semua. Ada berapa pilihan warna yang dihasilkan? Pak Oto membeli dua mobil untuk dijual kembali. Ia memperoleh keuntungan 30% dari mobil pertama, tetapi menderita kerugian 20% pada mobil kedua. Harga jual kedua mobil sama. Berapa persenkah keuntungan (atau kerugian) pak Oto secara keseluruhan? (Catatan: Semua persentase terhadap harga pembelian. Untuk jawaban, gunakan tanda '-' untuk menyatakan kerugian dan tanda '+' untuk menyatakan keuntungan.) Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk kepada mereka? Sebuah bola dengan jari-jari $ r $ ditendang dari $ B $ ke $ A $. Bola tersebut menggelinding sebanyak tepat 10 putaran sebelum membentur bidang miring dan berhenti. Berapakah jarak dari $ B $ ke $ A $? Berapakah sisa pembagian $ 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+100\cdot 100! $ oleh 101? Suatu lingkaran mempunyai diameter $ AB $ yang panjangnya merupakan bilangan bulat 2-angka. Tali busur $ CD $ tegak lurus pada $ AB $ dan memotong $ AB $ di titik $ H $. Panjang $ CD $ sama dengan bilanganyang diperoleh dengan menukar letak kedua angka dari panjang $ AB $. Jika jarak dari $ H $ ke pusat lingkaran merupakan bilangan rasional, berapakah panjang $ AB $? Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan $ \{1,2,3,\dots,9,10\} $?
  11. Titik-titik $ P $ dan $ Q $ berturut-turut adalah titik tengah rusuk $ AE $ dan $ CG $ pada kubus $ ABCD.EFGH $. Jika panjang rusuk kubus adalah 1 satuan, tentukan luas segi-empat $ DPFQ $.
  12. Jika $\alpha, \beta, \gamma$ adalah akar-akar dari persamaan $x^3-x-1=0$, tentukan nilai dari$$\frac{1+\alpha}{1-\alpha} + \frac{1+\beta}{1-\beta} + \frac{1+\gamma}{1-\gamma}.$$
  13. Misalkan $ x $ dan $ y $ adalah bilangan real tak nol. Jika $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=10 $ dan $ x + y = 40 $, berapakah $ xy $? Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan 1 bagian sirup untuk 4 bagian air. Berapa gelas minuman yang diperoleh dari sebotol sirup jika perbandingan larutan adalah 1 bagian sirup untuk 5 bagian air? Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar pulau Jawa? Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan.Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapakah rasio hasil perhitungan Dina terhadap hasil yang seharusnya? Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat $ (0, 0) $. Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua berada di kuadran II danpusat lingkaran ketiga berada pada kuadran III. Jika $ P $ adalah sebuah titik yang berada di dalam ketiga lingkaran tersebut, di kuadran manakah titik ini berada ? Diberikan berturut-turut (dari kiri ke kanan) gambar-gambar pertama, kedua dan ketiga dari suatu barisan gambar. Berapakah banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-$ n $? Diberikan segitiga $ ABC $ dengan perbandingan panjang sisi $ AC : CB = 3 : 4 $. Garis bagi sudut luar $ C $ memotong perpanjangan $ BA $ di $ P $ (titik $ A $ terletak di antara titik-titik $ P $ dan $ B $). Tentukan perbandingan panjang $ PA : AB $. Berapakah banyaknya barisan bilangan bulat tak negatif $ (x, y, z) $ yang memenuhi persamaan $ x + y + z= 99 $? Tentukan himpunan semua bilangan asli $ n $ sehingga $ n(n-1)(2n-1 )$ habis dibagi 6. Tentukan semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2<|2x-8| $. Dari antara 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6? Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus. Jika salah satu dari diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut? Tentukan nilai dari \[\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\left(1-\dfrac{2}{7}\right)\dots\left(1-\dfrac{2}{2005}\right).\] Santi dan Tini berlari sepanjang sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari titik $ P $, tetapi mengambil arah berlawanan. Santi berlari $ 1\dfrac{1}{2} $ kali lebih cepat daripada Tini. Jika $ PQ $ adalah garis tengah lingkaran lintasan dan keduanya berpapasan untuk pertama kalinya di titik $ R $, berapa derajatkah besar $ \angle RPQ $? Pada sisi-sisi $ SU $, $ TS $ dan $ UT $ dari $ \triangle STU $ dipilih titik-titik $ P $,$ Q $ dan $ R $ berturut-turut sehingga $ SP = \dfrac{1}{4}SU, TQ = \dfrac{1}{2}TS$ dan $ UR= \dfrac{1}{3}UT $. Jika luas segitiga STU adalah 1, berapakah luas $ \triangle PQR $? Dua bilangan real $ x, y $ memenuhi $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 $. Berapakah nilai $ x + y $? Berapakah banyak minimal titik yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara keduanya tidak lebih dari $ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} $? Misalkan $ f $ sebuah fungsi yang memenuhi $ f(x) f(y)-f(xy) = x + y $, untuk setiap bilangan bulat $ x $ dan $ y $. Berapakah nilai $ f(2004) $? Notasi $ fpb(a, b) $ menyatakan faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat $ a $ dan $ b $. Tiga bilangan asli $ a_1< a_2< a_3 $ memenuhi $ fpb(a_1, a_2, a_3) = 1 $, tetapi $ fpb(a_i, a_j) > 1 $ jika $ i\neq j $, $ i,j=1,2,3 $. Tentukan $ (a_1,a_2,a_3) $ agar $ a_1+a_2+a_3 $ minimal. Didefinisikan $ a\bullet b =a + b + ab $, untuk semua bilangan bulat $ a, b $. Kita katakan bahwa bilangan bulat $ a $ adalah faktor dari bilangan bulat $ c $ bilamana terdapat bilangan bulat $ b $ yang memenuhi $ a\bullet b= c $. Tentukan semua faktor positif dari 67.
  14. Jika $a$ sebuah bilangan rasional dan $b$ adalah sebuah bilangan tak rasional, maka $a + b$ adalah bilangan $\ldots$ Jumlah sepuluh bilangan prima yang pertama adalah $\ldots$ Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi $\{1, 2\} \subseteq X \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ adalah $\ldots$ Jika $N = 123456789101112\ldots 9899100$, maka tiga angka pertama dari $\sqrt{N}$ adalah $\ldots$ Misalkan $ABCD$ adalah sebuah trapesium dengan $BC \parallel AD$. Titik-titik $P$ dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah sisi $AB$ dan $CD$. Titik $Q$ terletak pada sisi $BC$ sehingga $BQ : QC = 3 : 1$, sedangkan titik $S$ terletak pada sisi $AD$ sehingga $AS : SD = 1 : 3$. Maka rasio luas segiempat $PQRS$ terhadap luas trapesium $ABCD$ adalah $\ldots$ Bilangan tiga-angka terkecil yang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah $\ldots$ Jika $a$, $b$ dua bilangan asli $a \le b$ sehingga $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, maka pasangan terurut $(a, b) = \ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dan titik $D$ terletak pada sisi $BC$. Jika $AB = AC$, $AD = BD$, dan besar sudut $DAC = 39^\circ$, maka besar sudut $BAD$ adalah $\ldots$ Ketika mendaki sebuah bukit, seorang berjalan dengan kecepatan $1 \frac{1}{2}$ km/jam. Ketika menuruni bukit tersebut, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak bukit dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit (dalam km) adalah $\ldots$ .Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas segitiga adalah $\sqrt{3}$, maka luas segienam adalah $\ldots$ Dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang jumlah kedua angka yang muncul adalah bilangan prima adalah $\ldots$ Keliling sebuah segitiga samasisi adalah $p$. Misalkan $Q$ adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari $Q$ ke ketiga sisi segitiga adalah $s$, maka, dinyatakan dalam $s$, $p = \ldots$ Barisan bilangan asli $(a, b, c)$ dengan $a \ge b \ge c$, yang memenuhi sekaligus kedua persamaan $ab + bc = 44$ dan $ac + bc = 23$ adalah $\ldots$ Empat buah titik berbeda terletak pada sebuah garis. Jarak antara sebarang dua titik dapat diurutkan menjadi barisan 1, 4, 5, $k$, 9, 10. Maka $k = \ldots$ Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah $\ldots$ Banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $2xy − 5x + y = 55$ adalah $\ldots$ Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas dan $A \cup B = \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$. Hasil perkalian semua unsur $A$ sama dengan jumlah semua unsur $B$. Unsur terkecil $B$ adalah $\ldots$ Bentuk sederhana dari$$\frac{(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1) \ldots (100^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1) \ldots (100^3+1)}$$ adalah $\ldots$ Misalkan $ABCD$ adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga samasisi. Misalkan $S$ adalah titik tengah rusuk $AB$ dan $T$ titik tengah rusuk $CD$. Jika panjang rusuk $ABCD$ adalah 1 satuan panjang, maka panjang $ST$ adalah $\ldots$ Untuk sebarang bilangan real $a$, notasi $\left\lfloor a \right\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $a$. Jika $x$ bilangan real yang memenuhi $\left\lfloor x+\sqrt{3} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{3} \right\rfloor$, maka $x - \left\lfloor x \right\rfloor$ tidak akan lebih besar dari $\ldots$
  15. Tiga bilangan

    Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $1:3$. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $5:6$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $\dotsc$
  16. Nilai selang-seling

    Tentukan nilai dari $1+2-3-4+5+6-7-8+\dotsc+2013+2014-2015-2016+2017!$ KSM MTs tingkat Nasional 2017, No 1
  17. Kuadrat sempurna abab

    Argumen terakhir harusnya 101 habis membagi 10a+b sih (tapi yha tetep aja ga mungkin, soalnya 10a+b kan rangenya dari 11-99)
  18. KSM MTs 2017

    Hari Pertama 1. Tentukan nilai dari $1+2-3-4+5+6-7-8+\dotsc+2013+2014-2015-2016+2017!$ 2. Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $1:3$. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $5:6$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $\dotsc$ 3. Adakah bilangan kuadrat sempurna empat angka berbentuk $abab$? Jelaskan. 4. Bilangan-bilangan $A,B,C,$ dan $D$ adalah bilangan bulat positif tiga digit. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $A$ dan $B$ sama dengan FPB dari $C$ dan $D$ . FPB dari $A$ dan $C$ tiga kali $FPB$ dari $C$ dan $D$. FPB dari $B$ dan $D$ lima kali FPB dari $C$ dan $D$ Tentukan satu kemungkinan nilai dari 4-tupel $(A,B,C,D)$ yang memenuhi. Tentukan 4-tupel bilangan yang jumlah keempat bilangan tersebut paling besar. 5. Diketahi dua lingkaran saling lepas berpusat di $P$ dan $Q$. Misalkan $A,B,C$ dan $D$ adalah titik-titik potong antara dua garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran dengan dua garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Buktikan bahwa $A,B,C,D$ terletak pada satu lingkaran.
  19. Diketahi dua lingkaran saling lepas berpusat di $P$ dan $Q$. Misalkan $A,B,C$ dan $D$ adalah titik-titik potong antara dua garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran dengan dua garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Buktikan bahwa $A,B,C,D$ terletak pada satu lingkaran.
  20. Bilangan-bilangan $A,B,C,$ dan $D$ adalah bilangan bulat positif tiga digit. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $A$ dan $B$ sama dengan FPB dari $C$ dan $D$ . FPB dari $A$ dan $C$ tiga kali $FPB$ dari $C$ dan $D$. FPB dari $B$ dan $D$ lima kali FPB dari $C$ dan $D$ Tentukan satu kemungkinan nilai dari 4-tupel $(A,B,C,D)$ yang memenuhi. Tentukan 4-tupel bilangan yang jumlah keempat bilangan tersebut paling besar.
  21. Diberikan sebuah papan catur berukuran $n\times n$. Sebuah pion diletakkan pada kotak paling kiri bawah. Dua pemain, Jihyun dan Ziying, bergantian menggerakkan pion tersebut dengan Jihyun mendapatkan giliran pertama. Pada setiap giliran, pion hanya bisa digerakkan ke kotak yang bertetangga (dua kotak dikatakan bertetangga jika dan hanya jika dua kotak tersebut berbeda dan memiliki sisi persekutuan) dan belum pernah ditempati sebelumnya. Pemain yang tidak bisa menggerakkan pion dinyatakan kalah. Tentukan semua nilai $n$ sedemikian sehingga Jihyun memiliki strategi untuk menang.
  22. OSN SMA 2017 No 1

    Melalui titik sudut $A$ dari jajargenjang $ABCD$, dibuat suatu garis $g$. Buktikan bahwa jarak dari $C$ ke garis $g$ adalah jumlah atau selisih jarak dari $B$ dan $D$ ke $g$.
  23. OSN SMA 2017 No 7

    Diberikan jajargenjang $ABCD$. Titik $E$ dan titik $F$ dipilih berturut-turut pada sisi $BC$ dan $CD$ sedemikian rupa sehingga segitiga $ABE$ dan segitiga $BCF$ mempunyai luas yang sama. Diagonal $BD$ memotong $AE$ dan $AF$ berturut-turut di $M$ dan $N$. Buktikan terdapat segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dengan $BM$, $MN$, dan $ND$.
  24. OSN SMA 2017 No 2

    Lima orang siswa bertemu di sebuah tempat. Sebuah trio adalah pasangan tiga siswa $(A,B,C)$ sehingga $A$ berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ berjabat tangan dengan $C$ atau $A$ tidak berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ tidak berjabat tangan dengan $C$. Jika trio (A,B,C) dan (C,B,A) dianggap sebagai trio yang sama, berapa paling sedikit banyaknya trio yang mungkin?
×