Search the Community

Showing results for tags '2016'.

The search index is currently processing. Current results may not be complete.


More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 13 results

  1. Nilai dari \((\frac{1.2.4+2.4.8+...+n.2n.4n}{1.3.9+2.6.18+n.3n.9n})^{\frac{2}{3}}\) adalah ... Bilangan bulat terbesar n agar 2 . 6. 10 .14 . 18 . ... . 198 dapat dibagi \(6^{n}\) adalah ... Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut dengan volume 392\(\pi \)\(cm^{3}\). Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan volume 1344\(\pi \)\(cm^{3}\). Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah ... cm. Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di atas. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Luas permukaan balok terpancung adalah ... satuan luas. Diketahui barisan fungsi \(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)\),... sedemikian hingga \(f_{1}(x)=x\) dan \(f_{n+1}(x)=\frac{1}{1-f_{n}(x)}\) untuk bilangan bulat \(n\geq 1\). Nilai dari \(f_{2016}(2016)\) = .... Jika akar-akar persamaan \((2016x)^{2}-(2015\times 2017)x-1=0\) adalah m dan n dengan m > n, serta akar-akar persamaan \(x^{2}+2015x-2016=0\) adalah \(a\) dan b dengan \(a\) > b , maka m - b = ... Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah \(a_{n}\) dengan \(a_{n}=\left\{\begin{matrix} 3k, untuk \ n=2k-1;\\ 51-k,untuk \ n = 2k \end{matrix}\right.\) Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah ... Misalkan \(x\) dan \(y\) merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi 4\(x\) + 7\(y\) = 2016. Banyak pasangan (\(x\),\(y\)) yang mungkin adalah ... Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku tersebut adalah ... Di kelas VIII terdapat 11 siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah ... .
  2. Nilai dari \(\frac{2017\times (2016^{2}-16)\times 2015}{2020\times (2016^{2}-1)}\) adalah ... A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 Misalkan \(\left \lceil x \right \rceil\) menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan \(x\). Jika \(x=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1002}+\frac{3}{1003}+...+\frac{10}{1010}}\) , maka \(\left \lceil x \right \rceil\) = ... A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 Jika \(n\)! = \(n\).(\(n\) - 1).(\(n\) - 2). ... .2.1, maka 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + (\(n\) - 1).(\(n\) - 1)! + \(n\).\(n\)! = ... A. (\(n\) - 1)! + 1 B. (\(n\) + 1)! - 1 C. (\(n\) + 1)! + 1 D. \(n\)! + n Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah ... \(cm^{2}\) A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75 Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12,-1). Garis l dengan gradien -\(\frac{3}{4}\) melalui titik B. Jarak antara titik A dan garis l adalah ... satuan panjang. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Perhatikan gambar di bawah. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah ... cm. A. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\) B. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) C. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) D. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah ... m. A. \(\frac{15}{\sqrt{10}+3}\) B. \(\frac{15}{\sqrt{10}-3}\) C. \(\frac{10}{\sqrt{5}+2}\) D. \(\frac{10}{\sqrt{5}-2}\) Banyak bilangan real \(x\) yang memenuhi \(x^{2016}-x^{2014}=x^{2015}-x^{2013}\) adalah ... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Jika sistem persamaan \(mx + 3y = 21\) \(4x - 3y = 0\) Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai \(m + x + y\) yang mungkin adalah ... . A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut: \(\cdot \) 25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut; \(\cdot \) 90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri. Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ... A. 9 : 1 B. 9 : 2 C. 9 : 3 D. 9 : 4 Suatu fungsi ditentukan dengan rumus \(f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x+1,untuk \ x \ genap\\2x-1,untuk \ x \ ganjil \end{matrix}\right.\) Jika \(a\) adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk \(f(a)\) adalah ... A. 21 B. 39 C. 61 D. 77 Banyak bilangan bulat k > - 20 sehingga parabola \(y=x^{2}+k\) tidak berpotongan dengan lingkaran \(x^{2}+y^{2}=9\) adalah A. 20 B. 19 C. 11 D. 10 Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut. Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut. Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ... A. 1000 B. 1340 C. 1350 D. 1500 Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ... A. \(\frac{5}{13}\) B. \(\frac{8}{26}\) C. \(\frac{19}{52}\) D. \(\frac{31}{104}\) Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ... A. 50 B. 49 C. 48 D. 45
  3. Tentukan semua tripel bilangan prima $(p,q,r)$ sedemikian sehingga $4p+4q,4q+4r,4r+4p$ ketiganya merupakan bilangan berpangkat empat (dengan kata lain, berbentuk $x^4$ untuk sebuah bilangan asli $x$).
  4. Untuk setiap bilangan asli $n$ dan bilangan real positif $x$, tunjukkan bahwa $$x^n+\dfrac{1}{x^n}-2 \ge n^2 \left(x+\frac{1}{x}-2\right).$$
  5. Bilangan palindrom dengan lima angka didefinisikan sebagai bilangan bulat dengan angka-angka penyusun $\overline{abcba}$, di mana $a \neq 0$. Misalkan $S$ adalah hasil jumlah semua bilangan palindrom dengan lima angka. Tentukan jumlah angka-angka penyusun dari $S$.
  6. Diberikan sebuah segitiga lancip $ABC$. Buat titik $D$ pada $BC$ sedemikian sehingga $AD$ tegak lurus dengan $BC$ dan titik $E$ pada $CA$ sedemikian sehingga $BE$ tegak lurus dengan $CA$. Misalkan $H$ adalah titik potong $AD$ dan $BE$. Tunjukkan bahwa $ABDE$ merupakan segiempat tali busur (segiempat di mana keempat titik sudutnya terletak pada sebuah lingkaran). (Ingat, Anda tidak boleh membuat asumsi tambahan, seperti $ABC$ adalah segitiga sama sisi. Jawaban yang memuat hanya gambar (meskipun akurat dan berhasil 'memperlihatkan' apa yang ingin dibuktikan) bukanlah bukti yang valid; Anda harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk sebarang segitiga yang memenuhi kriteria pada soal) Tunjukkan bahwa $EHDC$ juga merupakan segiempat tali busur. Manfaatkan bagian (a) dan (b) untuk menunjukkan bahwa $\angle HCD=\angle HAB$. Misalkan perpanjangan $CH$ memotong $AB$ di titik $F$. Tunjukkan bahwa $CF$ tegak lurus dengan $AB$. Perhatikan bahwa ketiga ruas garis $AD$, $BE$, dan $CF$ selalu berpotongan di satu titik (dalam hal ini $H$). Selanjutnya, garis yang melalui $AD$ atau $BE$ atau $CF$ dinamakan garis tinggi segitiga $ABC$. Titik $H$ disebut titik tinggi segitiga $ABC$, yakni perpotongan ketiga garis tinggi segitiga $ABC$. Tentukan titik tinggi dari segitiga $ABH$. Jelaskan jawaban Anda. Tunjukkan bahwa $\angle AHB+\angle ACB=180\degree$. Apakah $AHBC$ merupakan segiempat tali busur? Jelaskan jawaban Anda.
  7. Henry, Ilhan, Johan, dan empat orang lainnya mengikuti suatu perlombaan. Pada akhir perlombaan, masing-masing dari ketujuh orang tersebut diberi peringkat dari $1,2,\ldots,$ sampai $7$. Jika diketahui bahwa peringkat Johan lebih tinggi daripada peringkat Ilhan, dan peringkat Ilhan lebih tinggi daripada peringkat Henry, tentukan banyaknya susunan peringkat yang mungkin. Diketahui bahwa jumlah dari 10 buah bilangan prima berurutan adalah $x$, yang merupakan bilangan ganjil. Tentukan nilai terbesar yang mungkin bagi $x$. Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $D$ adalah titik tengah $BC$. Diketahui bahwa $\angle ADC=60^\circ$, $AB=10$, dan $AC=8$. Jika luas segitiga $ABC$ adalah $x\sqrt{y}$, dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan asli dan $y$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $x+y$. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang memenuhi selisih kuadrat bilangan tersebut dengan kuadrat bilangan yang diperoleh dengan membalikkan kedua angka dari bilangan tersebut adalah $1584$. (Catatan : $\overline{0a}$ sama dengan bilangan satu angka $\overline{a}$). Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $BE$ dan $CF$ adalah dua garis tingginya. Apabila $\angle BAC = 60^{\circ}$ dan $p(XYZ)$ menyetakan keliling segitiga $XYZ$, tentukan nilai dari $210 \times \frac{p(AEF)}{p(ABC)}$. Untuk setiap bilangan bulat positif $k$, misalkan $\alpha_k$ adalah bilangan real positif yang memenuhi persamaan $x^2-kx-1=0$. Tentukan bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n\geq 2016$. Misalkan $P$ adalah sebuah segi-banyak beraturan dengan $n \ge 4$ sisi. Empat titik sudut berbeda $A$, $B$, $C$, dan $D$ dipilih secara acak dari segi-banyak tersebut (permutasi dihitung berbeda). Misalkan peluang bahwa garis $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam segi-banyak adalah $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi $FPB(a,b) = 1$. Tentukan nilai dari $a \times b$. Misalkan $ABC$ adalah sebuah segitiga sama kaki dengan $AB=AC$ dan $\angle A=100^\circ$. Titik $D$ terletak pada sinar $AC$ sedemikian sehingga $AD=BC$. Tentukan besar $\angle ABD$ (dalam derajat). Misalkan $$S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + 2016 \cdot 2^{2016}.$$ Jika $x$ adalah bilangan ganjil terbesar yang habis membagi $S$, dan $y$ adalah bilangan bulat terbesar sedemikian sehingga $2^y$ habis membagi $S$, tentukan nilai dari $x + y$. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ dengan $|x|\leq 100$ dan $|y|\leq 100$ yang memenuhi persamaan $x^2+4y=4xy+1$. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan panjang diameter lingkaran luar 25. $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis tinggi dari segitiga tersebut. Jika keliling dari segitiga $DEF$ adalah 32, tentukan luas dari segitiga $ABC$. \Diberikan sebuah bilangan bulat $n$ dengan $3 \le n \le 2016$. Sebanyak $n$ bilangan bulat disusun melingkar sedemikian sehingga setiap bilangan lebih besar dari jumlah bilangan yang berada pada urutan pertama dan kedua dari sebelah kanan bilangan tersebut. Misalkan $A(n)$ menyatakan nilai terbesar dari banyaknya bilangan positif di antara $n$ bilangan tersebut. Tentukan banyaknya nilai berbeda untuk $A(n)$, untuk setiap $n$ yang mungkin. Misal $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ adalah barisan yang memenuhi $a_0 = 0, a_1 = 1$, dan $a_{n+2} = a_{n+1}+2a_n$ untuk semua bilangan bulat $n \geq 0$. Tentukan bilangan asli terkecil $k$ sedemikian sehingga $61 | a_k$. Misalkan $x,y,z$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz=2\sqrt{x+y-z}-x-2y+2z-\frac{5}{4}.\] Tentukan nilai dari $100(x+y+z)$.
  8. Suatu himpunan bilangan asli dikatakan $\it{harum}$ jika memiliki setidaknya dua anggota dan masing-masing anggota mempunyai faktor prima persekutuan dengan setidaknya satu anggota lainnya. Misalkan $P(n)=n^2+n+1$. Berapakah bilangan asli terkecil $b$ yang mungkin agar terdapat suatu bilangan bulat non-negatif $a$ sehingga himpunan $${P(a+1),P(a+2),\cdot,P(a+b)}$$ harum?
  9. Misalkan $P=A_1A_2\cdot A_k$ adalah suatu poligon konveks pada bidang. Titik-titik sudut $A_1, A_2,\cdot A_k$ mempunyai koordinat bilangan bulat dan terletak pada sebuah lingkaran. Misalkan $S$ adalah luas dari $P$. Suatu bilangan asli ganjil $n$ diberikan sedemikian sehingga kuadrat setiap sisi dari $P$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $n$. Buktikan bahwa $2S$ addalah bilangan bulat yang habis dibagi $n$.
  10. Persamaan $$(x-1)(x-2)\cdot (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdot (x-2016)$$ ditulis di papan, dengan 2016 faktor linear pada masing-masing sisi. Berapakah bilangan asli terkecil $k$ supaya dimungkinkan untuk menghapus tepat $k$ dari 4032 faktor linear tersebut sedemikian sehingga masing-masing sisi memiliki setidaknya satu faktor dan persamaan yang tersisa tidak mempunyai solusi real?
  11. Segitiga $BCF$ siku-siku di sudut $B$. Misalkan $A$ adalah titik pada garis $CF$ sehingga $FA=FB$ dan $F$ terletak di antara $A$ dan $C$. Titik $D$ dipilih sehingga $DA=DC$ dan $AC$ adalah garis bagi $\angle{DAB}$. Titik $E$ dipilih sehingga $EA=ED$ dan $AD$ adalah garis bagi $\angle{EAC}$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $CF$. Misalkan $X$ adalah suatu titik sehingga $AMXE$ merupakan jajargenjang (dimana $AM$ sejajar dengan $EX$ dan $AE$ sejajar dengan $MX$). Buktikan bahwa garis $BD$, $FX$, dan $ME$ berpotongan di satu titik.
  12. Cari semua bilangan asli $n$ sehingga setiap kotak dari tabel $n\times n$ dapat diisi dengan salah satu dari huruf $I,M,$ dan $O$ sedemikian sehingga: Di setiap baris dan kolom, sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi M, dan sepertiga di antaranya berisi O; dan Pada setiap diagonal, jika banyaknya kotak pada diagonal tersebut merupakan kelipatan 3, maka sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi $M$, dan sepertiga di antaranya berisi $O$. Catatan: Baris dan kolom dari suatu tabel $n\times n$ masing-masing dilabeli dengan 1 sampai n secara berurutan. Maka setiap kotak dilabeli dengan suatu pasangan bilangan asli $(i,j)$ dengan $i\leq i,j\leq n$. Untuk $n>1$, tabel tersebut memiliki $4n-2$ diagonal yang terdiri atas dua tipe. Suatu diagonal tipe pertama memuat semua kotak $(i,j)$ dengan $i+j$ konstan, dan suatu diagonal tipe kedua memuat semua kotak $(i,j)$ dengan $i-j$ konstan.
  13. Terdapat $n\geq 2$ segmen garis pada bidang sehingga setiap dua segmen berpotongan, dan tidak ada tiga segmen yang bertemu pada satu titik. Cecep harus memilih salah satu titik ujung dari masing-masing segmen dan meletakkan seekor katak disana, menghadap ke titik ujung lainnya. Kemudian dia akan bertepuk tangan sebanyak $n-1$ kali. Setiap kali dia bertepuk tangan, masing-masing katak akan melompat maju ke titik potong berikutnya pada segmen tersebut. Katak tidak pernah mengubah arat lompatannya. Cecep ingin meletakkan katak-katak tersebut sedemikian sehingga tidak ada dua katak yang menempati titik perpotongan yang sama pada saat yang sama. Buktikan bahwa keinginan Cecep dapat selalu terpenuhi jika $n$ ganjil. Buktikan bahwa keinginan Cecep tidak akan pernah terpenuhi jika $n$ genap.