Jump to content

Search the Community

Showing results for tags 'IMO'.

The search index is currently processing. Current results may not be complete.


More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 24 results

  1. IMO 2011 NO 6

    Misalkan $ABC$ adalah suatu segitiga lancip dengan lingkaran luar $\Gamma$. Misalkan $l$ adlaah suatu garis singgung $\Gamma$, dan misalkan $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ berturut-turut adalah garis-garis yang diperoleh dari mencerminkan $l$ pada garis-garis $BC$, $CA$, dan $AB$. Buktikan lingkaran luar segitiga yang dibentuk oleh garis-garis $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ bersinggungan dengan lingkaran $\Gamma$.
  2. IMO 2011 NO 5

    Misalkan $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat positif. Anggap bahwa, untuk sebarang dua bilangan bulat $m$ dan $n$, beda $f(m)-f(n)$ terbagi oleh $f(m-n)$. Buktikan bahwa, untuk semua bilangan bulat $m$ dan $n$ dengan $f(m) \leq f(n)$, bilangan $f(n)$ terbagi oleh $f(m)$.
  3. IMO 2011 NO 4

    Misalkan $n>0$ adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan $n$ pemberat dengan berat $2^0$, $2^1$, ..., $2^{n-1}$. Kita letakkan masing-masing dari $n$ pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau baki kanan, sampai semua pemberat terletakkan. Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.
  4. IMO 2011 NO 3

    Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada himpunan bagian real memenuhi $f(x+y) \leq y f(x) +f(f(x))$ untuk semua bilangan real $x$ dan $y$. Buktikan bahwa $f(x)=0$ untuk semua $x \leq 0$.
  5. IMO 2011 NO 2

    Misalkan $\mathbb{S}$ adalah suatu himpunan hingga dari paling sedikit dua titik pada bidang tertentu. Asumsikan bahwa tidak ada tiga titik dari $\mathbb{S}$ yang segaris. Suatu $pusaran$ adalah suatu proses yang dimulai dengan suatu garis $l$ melalui suatu titik tunggal $P \in \mathbb{S}$. Garis itu berputar searah putaran jarum jam dengan $pusat$ $P$ sampai waktu pertama garis itu bertemu suatu titik lain anggota $\mathbb{S}$. Titik ini, $Q$, mengambil alih sebagai pusat baru, dan garis itu sekarang berputar searah putaran jarum jam dengan pusat $Q$, sampai garis itu bertemu suatu titik berikutnya dari $\mathbb{S}$. Proses ini berlanjut secara terus-menerus. Buktikan bahwa kita dapat memilih suatu titik $P$ di $\mathbb{S}$ dan suatu garis $l$ melalui $p$ sehingga pusaran yang dihasilkan menggunakan masing-masing titik dari $\mathbb{S}$ sebagai pusat tak hingga banyak kali.
  6. IMO 2011 NO 1

    Diberikan sebarang himpunan $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah $a_1+a_2+a_3+a_4$ didefinisikan dengan $S_A$. Misalkan $n_A$ menyatakan banyaknya pasangan $(i,j)$ dengan $1 \leq i \leq j \leq 4$ sehingga $a_i+a_j$ membagi $S_A$. Cari semua himpunan $A$ dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai $n_A$ terbesar yang mungkin.
  7. IMO 2012 NO 6

    Cari semua bilangan bulat positif $n$ yang mana terdapat bilangan bulat non-negatif $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... , $a_n$ sehingga $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{2^{a_i}} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^n \displaystyle\frac{j}{3^{a_j}} = 1$
  8. IMO 2012 NO 5

    Misalkan $ABC$ suatu segitiga dengan $\angle BCA=90^{\circ}$, dan misalkan $D$ adalah kaki garis tinggi dari $C$. Misalkan $X$ adalah titik di bagian dalam ruas garis $CD$. Misalkan $K$ adalah titik pada ruas garis $AX$ sehingga $BK=BC$. Serupa, misalkan $L$ adalah titik pada ruas garis $BX$ sehingga $AL=AC$. Misalkan $M$ adalah titik perpotongan $AL$ dan $BK$. Buktikan bahwa $MK=ML$.
  9. IMO 2012 NO 4

    Cari semua fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sehingga, untuk semua bilangan bulat $a$, $b$, $c$ yang memenuhi $a+b+c=0$, persamaan ini berlaku: $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a)$ (Disini $\mathbb{Z}$ menotasikan himpunan bilangan bulat.)
  10. IMO 2012 NO 3

    $Permainan$ $tebakan$ $pembohong$ adalah permainan yang dimainkan oleh dua pemain $A$ dan $B$. Aturan permainan tergantung pada dua bagian bilangan bulat positif $k$ dan $n$ yang diketahui kedua pemain. Pada awal permainan $A$ memilih bilangan bulat $x$ dan $N$ dengan $1 \leq x \leq N$. Pemain $A$ menjaga kerahasiaan $x$, dan dengan jujur mengatakan $N$ ke pemain $B$. Pemain $B$ sekarang mencoba untuk mendapatkan informasi tentang $x$ dengan menanyakan kepada pemain $A$ pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: masing-masing pertanyaan berisikan $B$ mengspesifikasikan sebarang himounan $S$ dari bilangan bulat positif (dimungkinkan himpunan itu telah dispesifikasikan di beberapa pertanyaan sebelumnya), dan menanyakan kepada $A$ apakah $x$ di dalam $S$. Pemain $B$ boleh bertanya sebanyak mungkin pertanyaan sesuai keinginannya. Setelah masing-masing pertanyaan, pemain $A$ harus segera menjawab pertanyaan itu dengan $ya$ atau $tidak$, tetapi diperbolehkan untuk berbohong sebanyak yang dia inginkan; satu-satunya batasan adalah bahwa, diantara sebarang $k+1$ jawaban berturutan, setidaknya satu jawaban harus benar. Setelah $B$ mengajukan sebanyak mungkin pertanyaan-pertanyaan yang dia inginkan, dia harus mengspesifikasikan himpunan $X$ beranggotakan paling banyak $n$ bilangan bulat positif. Jika $x$ di dalam $X$ maka $B$ menang; jika tidak, ia kalah. Buktikan bahwa: 1. Jika $n \geq 2^k$, maka $B$ dapat menjamin suatu kemenangan. 2. Untuk semua $k$ cukup besar, terdapat suatu bilangan bulat $n \geq (1,99)^k$ sehingga $B$ tidak dapat menjamin suatu kemenangan.
  11. IMO 2012 NO 2

    Misalkan $n \geq 3$ suatu bilangan bulat, dan misalkan $a_2$, $a_3$, $a_4$, ... , $a_n$ adalah bilangan real positif sehingga $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n a_i = 1$. Buktikan bahwa $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n (1+a_i)^i > n^n$
  12. IMO 2012 NO 1

    Diberikan segitiga $ABC$, titik $J$ adalah pusat $excircle$ berseberangan dengan titik sudut $A$. $Excircle$ ini menyinggung sisi $BC$ di $M$, dan menyinggung garis $AB$ dan $AC$ berturut-turut di $K$ dan $L$. Garis $LM$ dan $BJ$ bertemu di $F$, dan garis $KM$ dan $CJ$ bertemu di $G$. Misalkan $S$ adalah titik perpotongan garis $AF$ dan $BC$, dan misalkan $T$ adalah titik perpotongan garis $AG$ dan $BC$. Buktikan bahwa $M$ adalah titik tengah $ST$. ( $Excircle$ $ABC$ berseberangan dengan titik sudut $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. )
  13. IMO 2013 NO 6

    Misalkan $n \geq 3$ adalah bilangan bulat, dan perhatikan suatu lingkaran yang ditandai dengan $n+1$ titik-titik yang berjarak sama antar dua titik bersebelahan. Anggap semua pelabelan titik-titik itu dengan bilangan $0$, $1$, $2$, ... , $n$ sehingga masing-masing label digunakan tepat satu kali; dua pelabelan tersebut dipandang sama jika salah satu bisa diperoleh dari yang lain menggunakan rotasi pada lingkaran itu. Suatu pelabelan disebut $cantik$ jika, untuk sebarang empat label $a<b<c<d$ dengan $a+d=b+c$, talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $a$ dan $d$ tidak memotong talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $b$ dan $c$. Misalkan $M$ adalah banyaknya pelabelan $cantik$, dan misalkan $N$ adalah banyaknya pasangan terurut bilangan bulat positif $(x,y)$ sehingga $x+y \leq n$ dan $gcd(x,y)=1$. Buktikan bahwa $M=N+1$
  14. IMO 2013 NO 5

    Misalkan $\mathbb{Q_{>0}}$ adalah himpunan bilangan rasional positif. Misalkan $f: \mathbb{Q_{>0}} \to \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga kondisi berikut: untuk semua $x , y \in \mathbb{Q_{>0}}$, berlaku $f(x)f(y) \geq f(xy)$; untuk semua $x , y \in \mathbb{Q_{>0}}$, berlaku $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$; terdapat suatu bilangan rasional $a>1$ sehingga $f(a)=a$. Buktikan bahwa $f(x)=x$ untuk semua $x \in \mathbb{Q_{>0}}$.
  15. IMO 2013 NO 4

    Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan tinggi $H$, dan misalkan $W$ titik pada sisi $BC$, yang secara tegas terletak di antara $B$ dan $C$. Lingkaran luar $BWN$ ditulis $\omega_1$, dan misalkan $X$ adalah titik pada $\omega_1$ sehingga $WX$ merupakan diameter $\omega_1$. Secara analog, $\omega_2$ menyatakan lingkaran luar $CWM$, dan misalkan $Y$ adalah titik pada $\omega_2$ sehingga $WY$ merupakan diameter $\omega_2$. Buktikan bahwa $X$, $Y$ dan $H$ segaris.
  16. IMO 2013 NO 3

    Misalkan $excircle$ segitiga $ABC$ berseberangan dengan titik $A$ menyinggung sisi $BC$ di titik $A_1$. Definisikan titik $B_1$ pada $CA$ dan titik $C_1$ pada $AB$ secara analog, berturut-turut menggunakan $excircles$ berseberangan dengan $B$ dan $C$. Misalkan titik pusat lingkaran luar segitiga $A_1B_1C_1$ berada pada lingkaran luar segitiga $ABC$. Buktikan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku. $Excircle$ segitiga $ABC$ berseberangan dengan titik $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. $Excircle$ berseberangan dengan $B$ dan $C$ didefinisikan serupa.
  17. IMO 2013 NO 2

    Suatu konfigurasi dari $4027$ titik pada bidang disebut $kolombia$ jika konfigurasi itu memuat $2013$ titik merah dan $2014$ titik biru, dan tidak ada tiga titik dari konfigurasi yang segaris. Dengan menggambar beberapa garis, bidang terbagi menjadi beberapa area. Suatu penataan garis-garis adalah $bagus$ untuk suatu konfigurasi $kolombia$ jika kondisi berikut dipenuhi: tidak ada garis yang melalui sebarang titik pada konfigurasi itu ; tidak ada area yang memuat kedua warna sekaligus. Carilah nilai $k$ terkecil sehingga untuk sebarang konfigurasi $kolombia$ dari $4027$ titik, terdapat suatu penataan $bagus$ dari $k$ garis.
  18. IMO 2013 NO 1

    Buktikan bahwa untuk sebarang pasangan bilangan bulat $k$ dan $n$, terdapat $k$ bilangan bulat positif $m_1$, $m_2$, ... , $m_k$ (tidak harus berbeda) sehingga $1+\displaystyle \frac{2^k-1}{n} = \displaystyle\prod\limits_{i=1}^k \left( 1 + \frac{1}{m_i} \right)$
  19. Suatu himpunan bilangan asli dikatakan $\it{harum}$ jika memiliki setidaknya dua anggota dan masing-masing anggota mempunyai faktor prima persekutuan dengan setidaknya satu anggota lainnya. Misalkan $P(n)=n^2+n+1$. Berapakah bilangan asli terkecil $b$ yang mungkin agar terdapat suatu bilangan bulat non-negatif $a$ sehingga himpunan $${P(a+1),P(a+2),\cdot,P(a+b)}$$ harum?
  20. Misalkan $P=A_1A_2\cdot A_k$ adalah suatu poligon konveks pada bidang. Titik-titik sudut $A_1, A_2,\cdot A_k$ mempunyai koordinat bilangan bulat dan terletak pada sebuah lingkaran. Misalkan $S$ adalah luas dari $P$. Suatu bilangan asli ganjil $n$ diberikan sedemikian sehingga kuadrat setiap sisi dari $P$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $n$. Buktikan bahwa $2S$ addalah bilangan bulat yang habis dibagi $n$.
  21. Persamaan $$(x-1)(x-2)\cdot (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdot (x-2016)$$ ditulis di papan, dengan 2016 faktor linear pada masing-masing sisi. Berapakah bilangan asli terkecil $k$ supaya dimungkinkan untuk menghapus tepat $k$ dari 4032 faktor linear tersebut sedemikian sehingga masing-masing sisi memiliki setidaknya satu faktor dan persamaan yang tersisa tidak mempunyai solusi real?
  22. Segitiga $BCF$ siku-siku di sudut $B$. Misalkan $A$ adalah titik pada garis $CF$ sehingga $FA=FB$ dan $F$ terletak di antara $A$ dan $C$. Titik $D$ dipilih sehingga $DA=DC$ dan $AC$ adalah garis bagi $\angle{DAB}$. Titik $E$ dipilih sehingga $EA=ED$ dan $AD$ adalah garis bagi $\angle{EAC}$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $CF$. Misalkan $X$ adalah suatu titik sehingga $AMXE$ merupakan jajargenjang (dimana $AM$ sejajar dengan $EX$ dan $AE$ sejajar dengan $MX$). Buktikan bahwa garis $BD$, $FX$, dan $ME$ berpotongan di satu titik.
  23. Cari semua bilangan asli $n$ sehingga setiap kotak dari tabel $n\times n$ dapat diisi dengan salah satu dari huruf $I,M,$ dan $O$ sedemikian sehingga: Di setiap baris dan kolom, sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi M, dan sepertiga di antaranya berisi O; dan Pada setiap diagonal, jika banyaknya kotak pada diagonal tersebut merupakan kelipatan 3, maka sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi $M$, dan sepertiga di antaranya berisi $O$. Catatan: Baris dan kolom dari suatu tabel $n\times n$ masing-masing dilabeli dengan 1 sampai n secara berurutan. Maka setiap kotak dilabeli dengan suatu pasangan bilangan asli $(i,j)$ dengan $i\leq i,j\leq n$. Untuk $n>1$, tabel tersebut memiliki $4n-2$ diagonal yang terdiri atas dua tipe. Suatu diagonal tipe pertama memuat semua kotak $(i,j)$ dengan $i+j$ konstan, dan suatu diagonal tipe kedua memuat semua kotak $(i,j)$ dengan $i-j$ konstan.
  24. Terdapat $n\geq 2$ segmen garis pada bidang sehingga setiap dua segmen berpotongan, dan tidak ada tiga segmen yang bertemu pada satu titik. Cecep harus memilih salah satu titik ujung dari masing-masing segmen dan meletakkan seekor katak disana, menghadap ke titik ujung lainnya. Kemudian dia akan bertepuk tangan sebanyak $n-1$ kali. Setiap kali dia bertepuk tangan, masing-masing katak akan melompat maju ke titik potong berikutnya pada segmen tersebut. Katak tidak pernah mengubah arat lompatannya. Cecep ingin meletakkan katak-katak tersebut sedemikian sehingga tidak ada dua katak yang menempati titik perpotongan yang sama pada saat yang sama. Buktikan bahwa keinginan Cecep dapat selalu terpenuhi jika $n$ ganjil. Buktikan bahwa keinginan Cecep tidak akan pernah terpenuhi jika $n$ genap.
×