Jump to content

Search the Community

Showing results for tags 'imo 2013'.

The search index is currently processing. Current results may not be complete.


More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 6 results

  1. IMO 2013 NO 6

    Misalkan $n \geq 3$ adalah bilangan bulat, dan perhatikan suatu lingkaran yang ditandai dengan $n+1$ titik-titik yang berjarak sama antar dua titik bersebelahan. Anggap semua pelabelan titik-titik itu dengan bilangan $0$, $1$, $2$, ... , $n$ sehingga masing-masing label digunakan tepat satu kali; dua pelabelan tersebut dipandang sama jika salah satu bisa diperoleh dari yang lain menggunakan rotasi pada lingkaran itu. Suatu pelabelan disebut $cantik$ jika, untuk sebarang empat label $a<b<c<d$ dengan $a+d=b+c$, talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $a$ dan $d$ tidak memotong talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $b$ dan $c$. Misalkan $M$ adalah banyaknya pelabelan $cantik$, dan misalkan $N$ adalah banyaknya pasangan terurut bilangan bulat positif $(x,y)$ sehingga $x+y \leq n$ dan $gcd(x,y)=1$. Buktikan bahwa $M=N+1$
  2. IMO 2013 NO 5

    Misalkan $\mathbb{Q_{>0}}$ adalah himpunan bilangan rasional positif. Misalkan $f: \mathbb{Q_{>0}} \to \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga kondisi berikut: untuk semua $x , y \in \mathbb{Q_{>0}}$, berlaku $f(x)f(y) \geq f(xy)$; untuk semua $x , y \in \mathbb{Q_{>0}}$, berlaku $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$; terdapat suatu bilangan rasional $a>1$ sehingga $f(a)=a$. Buktikan bahwa $f(x)=x$ untuk semua $x \in \mathbb{Q_{>0}}$.
  3. IMO 2013 NO 4

    Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan tinggi $H$, dan misalkan $W$ titik pada sisi $BC$, yang secara tegas terletak di antara $B$ dan $C$. Lingkaran luar $BWN$ ditulis $\omega_1$, dan misalkan $X$ adalah titik pada $\omega_1$ sehingga $WX$ merupakan diameter $\omega_1$. Secara analog, $\omega_2$ menyatakan lingkaran luar $CWM$, dan misalkan $Y$ adalah titik pada $\omega_2$ sehingga $WY$ merupakan diameter $\omega_2$. Buktikan bahwa $X$, $Y$ dan $H$ segaris.
  4. IMO 2013 NO 3

    Misalkan $excircle$ segitiga $ABC$ berseberangan dengan titik $A$ menyinggung sisi $BC$ di titik $A_1$. Definisikan titik $B_1$ pada $CA$ dan titik $C_1$ pada $AB$ secara analog, berturut-turut menggunakan $excircles$ berseberangan dengan $B$ dan $C$. Misalkan titik pusat lingkaran luar segitiga $A_1B_1C_1$ berada pada lingkaran luar segitiga $ABC$. Buktikan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku. $Excircle$ segitiga $ABC$ berseberangan dengan titik $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. $Excircle$ berseberangan dengan $B$ dan $C$ didefinisikan serupa.
  5. IMO 2013 NO 2

    Suatu konfigurasi dari $4027$ titik pada bidang disebut $kolombia$ jika konfigurasi itu memuat $2013$ titik merah dan $2014$ titik biru, dan tidak ada tiga titik dari konfigurasi yang segaris. Dengan menggambar beberapa garis, bidang terbagi menjadi beberapa area. Suatu penataan garis-garis adalah $bagus$ untuk suatu konfigurasi $kolombia$ jika kondisi berikut dipenuhi: tidak ada garis yang melalui sebarang titik pada konfigurasi itu ; tidak ada area yang memuat kedua warna sekaligus. Carilah nilai $k$ terkecil sehingga untuk sebarang konfigurasi $kolombia$ dari $4027$ titik, terdapat suatu penataan $bagus$ dari $k$ garis.
  6. IMO 2013 NO 1

    Buktikan bahwa untuk sebarang pasangan bilangan bulat $k$ dan $n$, terdapat $k$ bilangan bulat positif $m_1$, $m_2$, ... , $m_k$ (tidak harus berbeda) sehingga $1+\displaystyle \frac{2^k-1}{n} = \displaystyle\prod\limits_{i=1}^k \left( 1 + \frac{1}{m_i} \right)$
×