Jump to content

Search the Community

Showing results for tags 'imo'.

The search index is currently processing. Current results may not be complete.


More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 30 results

  1. IMO 2018 No 6

    Suatu segiempat konveks \(ABCD\) memenuhi \(AB ·CD = BC ·DA\). Titik \(X\) terletak di dalam \(ABCD\) sehingga \(\angle XAB = \angle XCD\) dan \(\angle XBC = \angle XDA.\) Buktikan bahwa \(\angle BXA +\angle DXC = 180^{\circ}\).
  2. IMO 2018 No 5

    Misalkan \(a_{1},a_{2},...\) suatu barisan tak hingga bilangan bulat positif. Misalkan terdapat bilangan bulat \(N > 1\) sehingga untuk setiap \(n ≥ N,\) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{2}}{a_{3}}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_{1}}\) merupakan bilangan bulat. Buktikan bahwa terdapat suatu bilangan bulat positif \(M\) sehingga \(a_{m} = a_{m+1}\) untuk setiap \(m ≥ M\).
  3. IMO 2018 No 4

    Suatu situs adalah sebarang titik \((x,y)\) di bidang dengan \(x\) dan \(y\) bilangan bulat positif tidak lebih dari \(20\). Mula-mula, masing-masing dari \(400\) situs tidak ditempati. Amy dan Ben bergiliran menempatkan batu dengan Amy pada giliran pertama. Pada gilirannya, Amy menempatkan sebuah batu merah baru pada suatu situs yang kosong sedemikian sehingga jarak setiap dua situs yang berisi dua batu merah tidak sama dengan \(\sqrt{5}\). Pada gilirannya, Ben menempatkan sebuah batu biru baru pada suatu situs yang kosong. (Sebuah situs yang ditempati oleh batu biru boleh berjarak berapapun dari situs lain yang sudah ditempati.) Mereka berhenti bermain setelah ada pemain yang tidak bisa menempatkan batu. Tentukan \(K\) terbesar sehingga Amy dapat menjamin bahwa dia dapat menempatkan sedikitnya \(K\) buah batu merah, tidak peduli bagaimana Ben menempatkan batu-batu birunya.
  4. IMO 2018 No 3

    Suatu segitiga anti-Pascal adalah susunan bilangan dalam bentuk segitiga sehingga setiap bilangan selain bilangan pada baris terbawah merupakan nilai mutlak dari selisih dua bilangan tepat dibawahnya. Sebagai contoh, susunan berikut merupakan segitiga anti-Pascal yang terdiri dari empat baris dan mengandung semua bilangan dari \(1\) sampai dengan \(10\). Apakah terdapat suatu segitiga anti-Pascal dengan 2018 baris yang mengandung semua bilangan dari \(1\) sampai dengan \(1 + 2 +···+ 2018?\)
  5. IMO 2018 No 2

    Tentukan semua bilangan bulat \(n ≥ 3\) sehingga terdapat bilangan real \(a_{1},a_{2},...,a_{n+2}\) sehingga \(a_{n+1} = a_{1}, a_{n+2} = a_{2}\) dan \(a_{i}a_{i+1} + 1 = a_{i+2}\) untuk setiap \(i = 1,2,...,n.\)
  6. IMO 2018 No 1

    Misalkan \(Γ\) lingkaran luar suatu segitiga lancip \(ABC\). Titik \(D\) dan \(E\) berturut-turut terletak pada segmen \(AB\) dan \(AC\) sehingga \(AD\) = \(AE\). Garis sumbu segmen \(BD\) dan \(CE\) memotong busur minor \(AB\) dan \(AC\) pada \(Γ\) berturut-turut di \(F\) dan \(G\). Buktikan bahwa garis \(DE\) dan \(FG\) paralel (atau berimpit).
  7. IMO 2011 NO 6

    Misalkan $ABC$ adalah suatu segitiga lancip dengan lingkaran luar $\Gamma$. Misalkan $l$ adlaah suatu garis singgung $\Gamma$, dan misalkan $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ berturut-turut adalah garis-garis yang diperoleh dari mencerminkan $l$ pada garis-garis $BC$, $CA$, dan $AB$. Buktikan lingkaran luar segitiga yang dibentuk oleh garis-garis $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ bersinggungan dengan lingkaran $\Gamma$.
  8. IMO 2011 NO 5

    Misalkan $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat positif. Anggap bahwa, untuk sebarang dua bilangan bulat $m$ dan $n$, beda $f(m)-f(n)$ terbagi oleh $f(m-n)$. Buktikan bahwa, untuk semua bilangan bulat $m$ dan $n$ dengan $f(m) \leq f(n)$, bilangan $f(n)$ terbagi oleh $f(m)$.
  9. IMO 2011 NO 4

    Misalkan $n>0$ adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan $n$ pemberat dengan berat $2^0$, $2^1$, ..., $2^{n-1}$. Kita letakkan masing-masing dari $n$ pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau baki kanan, sampai semua pemberat terletakkan. Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.
  10. IMO 2011 NO 3

    Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada himpunan bagian real memenuhi $f(x+y) \leq y f(x) +f(f(x))$ untuk semua bilangan real $x$ dan $y$. Buktikan bahwa $f(x)=0$ untuk semua $x \leq 0$.
  11. IMO 2011 NO 2

    Misalkan $\mathbb{S}$ adalah suatu himpunan hingga dari paling sedikit dua titik pada bidang tertentu. Asumsikan bahwa tidak ada tiga titik dari $\mathbb{S}$ yang segaris. Suatu $pusaran$ adalah suatu proses yang dimulai dengan suatu garis $l$ melalui suatu titik tunggal $P \in \mathbb{S}$. Garis itu berputar searah putaran jarum jam dengan $pusat$ $P$ sampai waktu pertama garis itu bertemu suatu titik lain anggota $\mathbb{S}$. Titik ini, $Q$, mengambil alih sebagai pusat baru, dan garis itu sekarang berputar searah putaran jarum jam dengan pusat $Q$, sampai garis itu bertemu suatu titik berikutnya dari $\mathbb{S}$. Proses ini berlanjut secara terus-menerus. Buktikan bahwa kita dapat memilih suatu titik $P$ di $\mathbb{S}$ dan suatu garis $l$ melalui $p$ sehingga pusaran yang dihasilkan menggunakan masing-masing titik dari $\mathbb{S}$ sebagai pusat tak hingga banyak kali.
  12. IMO 2011 NO 1

    Diberikan sebarang himpunan $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah $a_1+a_2+a_3+a_4$ didefinisikan dengan $S_A$. Misalkan $n_A$ menyatakan banyaknya pasangan $(i,j)$ dengan $1 \leq i \leq j \leq 4$ sehingga $a_i+a_j$ membagi $S_A$. Cari semua himpunan $A$ dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai $n_A$ terbesar yang mungkin.
  13. IMO 2012 NO 6

    Cari semua bilangan bulat positif $n$ yang mana terdapat bilangan bulat non-negatif $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... , $a_n$ sehingga $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{2^{a_i}} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^n \displaystyle\frac{j}{3^{a_j}} = 1$
  14. IMO 2012 NO 5

    Misalkan $ABC$ suatu segitiga dengan $\angle BCA=90^{\circ}$, dan misalkan $D$ adalah kaki garis tinggi dari $C$. Misalkan $X$ adalah titik di bagian dalam ruas garis $CD$. Misalkan $K$ adalah titik pada ruas garis $AX$ sehingga $BK=BC$. Serupa, misalkan $L$ adalah titik pada ruas garis $BX$ sehingga $AL=AC$. Misalkan $M$ adalah titik perpotongan $AL$ dan $BK$. Buktikan bahwa $MK=ML$.
  15. IMO 2012 NO 4

    Cari semua fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sehingga, untuk semua bilangan bulat $a$, $b$, $c$ yang memenuhi $a+b+c=0$, persamaan ini berlaku: $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a)$ (Disini $\mathbb{Z}$ menotasikan himpunan bilangan bulat.)
  16. IMO 2012 NO 3

    $Permainan$ $tebakan$ $pembohong$ adalah permainan yang dimainkan oleh dua pemain $A$ dan $B$. Aturan permainan tergantung pada dua bagian bilangan bulat positif $k$ dan $n$ yang diketahui kedua pemain. Pada awal permainan $A$ memilih bilangan bulat $x$ dan $N$ dengan $1 \leq x \leq N$. Pemain $A$ menjaga kerahasiaan $x$, dan dengan jujur mengatakan $N$ ke pemain $B$. Pemain $B$ sekarang mencoba untuk mendapatkan informasi tentang $x$ dengan menanyakan kepada pemain $A$ pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: masing-masing pertanyaan berisikan $B$ mengspesifikasikan sebarang himounan $S$ dari bilangan bulat positif (dimungkinkan himpunan itu telah dispesifikasikan di beberapa pertanyaan sebelumnya), dan menanyakan kepada $A$ apakah $x$ di dalam $S$. Pemain $B$ boleh bertanya sebanyak mungkin pertanyaan sesuai keinginannya. Setelah masing-masing pertanyaan, pemain $A$ harus segera menjawab pertanyaan itu dengan $ya$ atau $tidak$, tetapi diperbolehkan untuk berbohong sebanyak yang dia inginkan; satu-satunya batasan adalah bahwa, diantara sebarang $k+1$ jawaban berturutan, setidaknya satu jawaban harus benar. Setelah $B$ mengajukan sebanyak mungkin pertanyaan-pertanyaan yang dia inginkan, dia harus mengspesifikasikan himpunan $X$ beranggotakan paling banyak $n$ bilangan bulat positif. Jika $x$ di dalam $X$ maka $B$ menang; jika tidak, ia kalah. Buktikan bahwa: 1. Jika $n \geq 2^k$, maka $B$ dapat menjamin suatu kemenangan. 2. Untuk semua $k$ cukup besar, terdapat suatu bilangan bulat $n \geq (1,99)^k$ sehingga $B$ tidak dapat menjamin suatu kemenangan.
  17. IMO 2012 NO 2

    Misalkan $n \geq 3$ suatu bilangan bulat, dan misalkan $a_2$, $a_3$, $a_4$, ... , $a_n$ adalah bilangan real positif sehingga $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n a_i = 1$. Buktikan bahwa $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n (1+a_i)^i > n^n$
  18. IMO 2012 NO 1

    Diberikan segitiga $ABC$, titik $J$ adalah pusat $excircle$ berseberangan dengan titik sudut $A$. $Excircle$ ini menyinggung sisi $BC$ di $M$, dan menyinggung garis $AB$ dan $AC$ berturut-turut di $K$ dan $L$. Garis $LM$ dan $BJ$ bertemu di $F$, dan garis $KM$ dan $CJ$ bertemu di $G$. Misalkan $S$ adalah titik perpotongan garis $AF$ dan $BC$, dan misalkan $T$ adalah titik perpotongan garis $AG$ dan $BC$. Buktikan bahwa $M$ adalah titik tengah $ST$. ( $Excircle$ $ABC$ berseberangan dengan titik sudut $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. )
  19. IMO 2013 NO 6

    Misalkan $n \geq 3$ adalah bilangan bulat, dan perhatikan suatu lingkaran yang ditandai dengan $n+1$ titik-titik yang berjarak sama antar dua titik bersebelahan. Anggap semua pelabelan titik-titik itu dengan bilangan $0$, $1$, $2$, ... , $n$ sehingga masing-masing label digunakan tepat satu kali; dua pelabelan tersebut dipandang sama jika salah satu bisa diperoleh dari yang lain menggunakan rotasi pada lingkaran itu. Suatu pelabelan disebut $cantik$ jika, untuk sebarang empat label $a<b<c<d$ dengan $a+d=b+c$, talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $a$ dan $d$ tidak memotong talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $b$ dan $c$. Misalkan $M$ adalah banyaknya pelabelan $cantik$, dan misalkan $N$ adalah banyaknya pasangan terurut bilangan bulat positif $(x,y)$ sehingga $x+y \leq n$ dan $gcd(x,y)=1$. Buktikan bahwa $M=N+1$
  20. IMO 2013 NO 5

    Misalkan $\mathbb{Q_{>0}}$ adalah himpunan bilangan rasional positif. Misalkan $f: \mathbb{Q_{>0}} \to \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga kondisi berikut: untuk semua $x , y \in \mathbb{Q_{>0}}$, berlaku $f(x)f(y) \geq f(xy)$; untuk semua $x , y \in \mathbb{Q_{>0}}$, berlaku $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$; terdapat suatu bilangan rasional $a>1$ sehingga $f(a)=a$. Buktikan bahwa $f(x)=x$ untuk semua $x \in \mathbb{Q_{>0}}$.
  21. IMO 2013 NO 4

    Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan tinggi $H$, dan misalkan $W$ titik pada sisi $BC$, yang secara tegas terletak di antara $B$ dan $C$. Lingkaran luar $BWN$ ditulis $\omega_1$, dan misalkan $X$ adalah titik pada $\omega_1$ sehingga $WX$ merupakan diameter $\omega_1$. Secara analog, $\omega_2$ menyatakan lingkaran luar $CWM$, dan misalkan $Y$ adalah titik pada $\omega_2$ sehingga $WY$ merupakan diameter $\omega_2$. Buktikan bahwa $X$, $Y$ dan $H$ segaris.
  22. IMO 2013 NO 3

    Misalkan $excircle$ segitiga $ABC$ berseberangan dengan titik $A$ menyinggung sisi $BC$ di titik $A_1$. Definisikan titik $B_1$ pada $CA$ dan titik $C_1$ pada $AB$ secara analog, berturut-turut menggunakan $excircles$ berseberangan dengan $B$ dan $C$. Misalkan titik pusat lingkaran luar segitiga $A_1B_1C_1$ berada pada lingkaran luar segitiga $ABC$. Buktikan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku. $Excircle$ segitiga $ABC$ berseberangan dengan titik $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. $Excircle$ berseberangan dengan $B$ dan $C$ didefinisikan serupa.
  23. IMO 2013 NO 2

    Suatu konfigurasi dari $4027$ titik pada bidang disebut $kolombia$ jika konfigurasi itu memuat $2013$ titik merah dan $2014$ titik biru, dan tidak ada tiga titik dari konfigurasi yang segaris. Dengan menggambar beberapa garis, bidang terbagi menjadi beberapa area. Suatu penataan garis-garis adalah $bagus$ untuk suatu konfigurasi $kolombia$ jika kondisi berikut dipenuhi: tidak ada garis yang melalui sebarang titik pada konfigurasi itu ; tidak ada area yang memuat kedua warna sekaligus. Carilah nilai $k$ terkecil sehingga untuk sebarang konfigurasi $kolombia$ dari $4027$ titik, terdapat suatu penataan $bagus$ dari $k$ garis.
  24. IMO 2013 NO 1

    Buktikan bahwa untuk sebarang pasangan bilangan bulat $k$ dan $n$, terdapat $k$ bilangan bulat positif $m_1$, $m_2$, ... , $m_k$ (tidak harus berbeda) sehingga $1+\displaystyle \frac{2^k-1}{n} = \displaystyle\prod\limits_{i=1}^k \left( 1 + \frac{1}{m_i} \right)$
  25. Suatu himpunan bilangan asli dikatakan $\it{harum}$ jika memiliki setidaknya dua anggota dan masing-masing anggota mempunyai faktor prima persekutuan dengan setidaknya satu anggota lainnya. Misalkan $P(n)=n^2+n+1$. Berapakah bilangan asli terkecil $b$ yang mungkin agar terdapat suatu bilangan bulat non-negatif $a$ sehingga himpunan $${P(a+1),P(a+2),\cdot,P(a+b)}$$ harum?
×