Search the Community

Showing results for tags 'ktom'.

The search index is currently processing. Current results may not be complete.


More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 10 results

  1. Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan titik pusat lingkaran luar $O$ dan titik tinggi $H$. Misalkan pula $N$ adalah titik tengah $OH$, $D$ refleksi titik $A$ terhadap $BC$, dan titik $E$ pada $BC$ sedemikian sehingga $NE\perp BC$. Buktikan bahwa garis $DE$ memuat titik berat segitiga $ABC$.
  2. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f(xy+2016) = f(x+y)$ untuk setiap bilangan takrasional $x$ dan $y$. Catatan: bilangan takrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dan $b \ne 0$.
  3. Tentukan nilai $m$ terbesar sedemikian sehingga terdapat bilangan asli $n$ yang memenuhi pernyataan berikut: ''$2015^n+2016^n+2017^n$, jika dituliskan dalam bentuk desimal, diakhiri dengan $m$ buah angka nol''.
  4. a. Jika ada $kn+1$ koin yang diletakkan ke dalam $n$ buah kotak, tunjukkan bahwa ada setidaknya satu kotak yang memuat $k+1$ koin. (Petunjuk: apa yang terjadi apabila setiap kotak paling banyak memuat $k$ koin?) Pernyataan di atas merupakan salah satu bentuk perumuman prinsip sangkar merpati (\textit{pigeonhole principle}). b. Diberikan papan catur berukuran $8\times 8$. Sebanyak $m$ buah koin akan diletakkan pada papan tersebut sedemikian sehingga setiap kotak berukuran $1\times 1$ paling banyak memuat satu koin. i. Jika $m=33$, manfaatkan bagian (a) untuk menunjukkan bahwa ada kotak berukuran $2\times 1$ yang memuat dua koin. ii. Jika $m=32$, berikan sebuah contoh cara meletakkan koin-koin tersebut sedemikian sehingga setiap kotak berukuran $2\times 1$ paling banyak memuat satu koin. iii. Jika $m=33$, tunjukkan bahwa ada kotak berukuran $2\times 4$ yang memuat setidaknya lima koin. iv. Tentukan nilai $m$ terkecil sedemikian sehingga untuk setiap konfigurasi $m$ koin di papan tersebut, \textit{pasti selalu} terdapat tiga buah kotak berukuran $1\times 1$ dengan sifat masing-masing kotak memuat satu koin dan salah satu kotak bersebelahan dengan dua kotak lainnya. Catatan: dua kotak berbeda dikatakan bersebelahan jika kedua kotak tersebut berbagi sisi yang sama.
  5. 1. Terdapat dua bola merah dan dua bola biru dalam satu kantong. Tontowi mengambil dua bola secara acak dari kantong tersebut dan Liliyana mengambil dua bola sisanya. Jika $p$ menyatakan peluang Liliyana mendapatkan dua bola berwarna sama, tentukan nilai dari $\lfloor 100p \rfloor$. Keterangan: $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. 2. Misalkan $ABCD$ adalah sebuah lintasan berbentuk persegi panjang dengan $AB = 20$ dan $BC = 16$. Sebuah kereta kencana, traktor, odong-odong, dan motor bebek terletak pada titik $A$, $B$, $C$, dan $D$, berturut-turut. Pada suatu waktu, keempat kendaraan mulai bergerak secara serentak mengelilingi lintasan dengan rute $A-B-C-D-A$ (dan seterusnya) dengan kecepatan tetap. Diketahui bahwa perbandingan kecepatan kereta, traktor, odong-odong, dan motor adalah 2:9:11:18. Pada suatu titik di lintasan, keempat kendaraan bertemu untuk pertama kalinya dan langsung berhenti. Tentukan total jarak yang telah ditempuh seluruh kendaraan. 3. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ berturut-turut 19, 26, dan 21. Titik $D$ terletak pada $AC$ dan $E$ pada $AB$ sedemikian sehingga $BD$ dan $CE$ adalah garis bagi $\angle B$ dan $\angle C$, berturut-turut. Tentukan nilai dari $\left\lfloor\frac{100AD}{AE}\right\rfloor$. 4. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ sedemikian sehingga $a+b=2016$ dan $a$ dan $b$ keduanya tidak habis dibagi 3. 5. Terdapat sepuluh murid yang mengikuti ujian matematika. Diketahui bahwa setiap soal dikerjakan oleh tepat tujuh murid. Jika sembilan murid pertama masing-masing mengerjakan empat soal, tentukan banyaknya soal yang dikerjakan murid yang kesepuluh. 6. Sebuah bilangan real positif dituliskan pada setiap sisi sebuah kubus. Selanjutnya, pada setiap titik sudut kubus dituliskan hasil dari perkalian tiga buah bilangan pada sisi-sisi yang memuat titik tersebut. Diketaui bahwa hasil penjumlahan dari semua bilangan yang tertera pada titik-titik sudut kubus adalah $100$. Tentukan bilangan bulat terkecil yang mungkin untuk hasil penjumlahan semua angka pada sisi-sisi kubus. 7. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan sisi-sisi $AB = 2$, $BC = 3\sqrt{3}$, dan $AC = \sqrt{13}$. Apabila $O_1$ dan $O_2$ adalah pusat segitiga sama sisi $ABC_1$ dan $BCA_1$, berturut-turut, dengan $C_1$ terletak pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$ dan $A_1$ terletak pada sisi yang berbeda dengan $A$ terhadap $BC$, tentukan nilai $3(O_1O_2)^2$. 8. Bona hanya memiliki sepatu berwarna hitam dan putih. Setiap hari, Bona selalu menggunakan sepatu dan hanya menggunakan satu jenis warna sepatu. Tentukan banyaknya cara Bona memilih sepatu yang dia gunakan dalam sepuluh hari dengan syarat bahwa satu jenis warna sepatu tidak digunakan sebanyak tiga kali berturut-turut. 9. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \[xy^2-xy-y+x^2=1.\] 10. Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan lingkaran luar $\Gamma$. Misalkan pula $\ell$ adalah garis singgung $\Gamma$ di titik $B$. Garis bagi sudut $A$ memotong $BC$, $\Gamma$, dan $\ell$ di titik $D$, $E$, dan $F$, berturut-turut, sehingga $A$, $D$, $E$, dan $F$ terletak pada satu garis dalam urutan tersebut. Jika $AE=EF$, $BD=7$ dan $CD=9$, hitunglah nilai dari $AD^2$. 11. Barisan $(a_n)_{n=1}^\infty$ didefinisikan dengan $a_1=2$, $a_2=2016$, dan $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ untuk $n\geq 3$. Misalkan \[\sum_{i=2}^\infty\frac{2a_{i-1}}{a_i^2-a_{i-1}^2}=\frac{p}{q},\] dengan $p$ dan $q$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $p+q$. 12. Sebuah bilangan asli empat-angka dikatakan \textit{ktom} jika saat bilangan tersebut difaktorisasi prima, jumlah faktor-faktor primanya sama dengan jumlah eksponennya (pangkatnya). Sebagai contoh, 2000 adalah bilangan ktom karena $2000 = 2^4 5^3$ dan $2+5=4+3$. Tentukan hasil jumlah semua bilangan ktom. 13. Diberikan sebuah persegi panjang $2 \times 10$ yang terdiri atas 20 persegi satuan. Tentukan banyaknya cara mewarnai persegi-persegi satuan tersebut dengan warna hitam atau putih sedemikian sehingga setiap persegi $2 \times 2$ mengandung tepat 2 persegi satuan putih dan persegi satuan hitam. Perhatikan bahwa pewarnaan yang diperoleh dari rotasi atau refleksi suatu pewarnaan lain dianggap berbeda dari pewarnaan asalnya. 14. Misalkan $\gamma$ adalah lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan $D$ titik pada segmen $BC$. Misalkan pula $X$ adalah perpotongan $AD$ dengan $\gamma$ di mana $X$ lebih dekat ke $A$ dibandingkan ke $D$. Jika jari-jari $\gamma$ adalah $1$ dan $AX:XD:DC=1:3:10$, tentukan besar $p+q+r$ jika panjang $XD$ adalah $\frac{p\sqrt{q}}{r}$ dalam bentuk yang paling sederhana.
  6. Tentukan semua tripel bilangan prima $(p,q,r)$ sedemikian sehingga $4p+4q,4q+4r,4r+4p$ ketiganya merupakan bilangan berpangkat empat (dengan kata lain, berbentuk $x^4$ untuk sebuah bilangan asli $x$).
  7. Untuk setiap bilangan asli $n$ dan bilangan real positif $x$, tunjukkan bahwa $$x^n+\dfrac{1}{x^n}-2 \ge n^2 \left(x+\frac{1}{x}-2\right).$$
  8. Bilangan palindrom dengan lima angka didefinisikan sebagai bilangan bulat dengan angka-angka penyusun $\overline{abcba}$, di mana $a \neq 0$. Misalkan $S$ adalah hasil jumlah semua bilangan palindrom dengan lima angka. Tentukan jumlah angka-angka penyusun dari $S$.
  9. Diberikan sebuah segitiga lancip $ABC$. Buat titik $D$ pada $BC$ sedemikian sehingga $AD$ tegak lurus dengan $BC$ dan titik $E$ pada $CA$ sedemikian sehingga $BE$ tegak lurus dengan $CA$. Misalkan $H$ adalah titik potong $AD$ dan $BE$. Tunjukkan bahwa $ABDE$ merupakan segiempat tali busur (segiempat di mana keempat titik sudutnya terletak pada sebuah lingkaran). (Ingat, Anda tidak boleh membuat asumsi tambahan, seperti $ABC$ adalah segitiga sama sisi. Jawaban yang memuat hanya gambar (meskipun akurat dan berhasil 'memperlihatkan' apa yang ingin dibuktikan) bukanlah bukti yang valid; Anda harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk sebarang segitiga yang memenuhi kriteria pada soal) Tunjukkan bahwa $EHDC$ juga merupakan segiempat tali busur. Manfaatkan bagian (a) dan (b) untuk menunjukkan bahwa $\angle HCD=\angle HAB$. Misalkan perpanjangan $CH$ memotong $AB$ di titik $F$. Tunjukkan bahwa $CF$ tegak lurus dengan $AB$. Perhatikan bahwa ketiga ruas garis $AD$, $BE$, dan $CF$ selalu berpotongan di satu titik (dalam hal ini $H$). Selanjutnya, garis yang melalui $AD$ atau $BE$ atau $CF$ dinamakan garis tinggi segitiga $ABC$. Titik $H$ disebut titik tinggi segitiga $ABC$, yakni perpotongan ketiga garis tinggi segitiga $ABC$. Tentukan titik tinggi dari segitiga $ABH$. Jelaskan jawaban Anda. Tunjukkan bahwa $\angle AHB+\angle ACB=180\degree$. Apakah $AHBC$ merupakan segiempat tali busur? Jelaskan jawaban Anda.
  10. Henry, Ilhan, Johan, dan empat orang lainnya mengikuti suatu perlombaan. Pada akhir perlombaan, masing-masing dari ketujuh orang tersebut diberi peringkat dari $1,2,\ldots,$ sampai $7$. Jika diketahui bahwa peringkat Johan lebih tinggi daripada peringkat Ilhan, dan peringkat Ilhan lebih tinggi daripada peringkat Henry, tentukan banyaknya susunan peringkat yang mungkin. Diketahui bahwa jumlah dari 10 buah bilangan prima berurutan adalah $x$, yang merupakan bilangan ganjil. Tentukan nilai terbesar yang mungkin bagi $x$. Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $D$ adalah titik tengah $BC$. Diketahui bahwa $\angle ADC=60^\circ$, $AB=10$, dan $AC=8$. Jika luas segitiga $ABC$ adalah $x\sqrt{y}$, dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan asli dan $y$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $x+y$. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang memenuhi selisih kuadrat bilangan tersebut dengan kuadrat bilangan yang diperoleh dengan membalikkan kedua angka dari bilangan tersebut adalah $1584$. (Catatan : $\overline{0a}$ sama dengan bilangan satu angka $\overline{a}$). Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $BE$ dan $CF$ adalah dua garis tingginya. Apabila $\angle BAC = 60^{\circ}$ dan $p(XYZ)$ menyetakan keliling segitiga $XYZ$, tentukan nilai dari $210 \times \frac{p(AEF)}{p(ABC)}$. Untuk setiap bilangan bulat positif $k$, misalkan $\alpha_k$ adalah bilangan real positif yang memenuhi persamaan $x^2-kx-1=0$. Tentukan bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n\geq 2016$. Misalkan $P$ adalah sebuah segi-banyak beraturan dengan $n \ge 4$ sisi. Empat titik sudut berbeda $A$, $B$, $C$, dan $D$ dipilih secara acak dari segi-banyak tersebut (permutasi dihitung berbeda). Misalkan peluang bahwa garis $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam segi-banyak adalah $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi $FPB(a,b) = 1$. Tentukan nilai dari $a \times b$. Misalkan $ABC$ adalah sebuah segitiga sama kaki dengan $AB=AC$ dan $\angle A=100^\circ$. Titik $D$ terletak pada sinar $AC$ sedemikian sehingga $AD=BC$. Tentukan besar $\angle ABD$ (dalam derajat). Misalkan $$S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + 2016 \cdot 2^{2016}.$$ Jika $x$ adalah bilangan ganjil terbesar yang habis membagi $S$, dan $y$ adalah bilangan bulat terbesar sedemikian sehingga $2^y$ habis membagi $S$, tentukan nilai dari $x + y$. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ dengan $|x|\leq 100$ dan $|y|\leq 100$ yang memenuhi persamaan $x^2+4y=4xy+1$. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan panjang diameter lingkaran luar 25. $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis tinggi dari segitiga tersebut. Jika keliling dari segitiga $DEF$ adalah 32, tentukan luas dari segitiga $ABC$. \Diberikan sebuah bilangan bulat $n$ dengan $3 \le n \le 2016$. Sebanyak $n$ bilangan bulat disusun melingkar sedemikian sehingga setiap bilangan lebih besar dari jumlah bilangan yang berada pada urutan pertama dan kedua dari sebelah kanan bilangan tersebut. Misalkan $A(n)$ menyatakan nilai terbesar dari banyaknya bilangan positif di antara $n$ bilangan tersebut. Tentukan banyaknya nilai berbeda untuk $A(n)$, untuk setiap $n$ yang mungkin. Misal $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ adalah barisan yang memenuhi $a_0 = 0, a_1 = 1$, dan $a_{n+2} = a_{n+1}+2a_n$ untuk semua bilangan bulat $n \geq 0$. Tentukan bilangan asli terkecil $k$ sedemikian sehingga $61 | a_k$. Misalkan $x,y,z$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz=2\sqrt{x+y-z}-x-2y+2z-\frac{5}{4}.\] Tentukan nilai dari $100(x+y+z)$.