Search the Community

Showing results for tags 'osn sma'.



More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 38 results

  1. Diberikan jajargenjang $ABCD$. Titik $E$ dan titik $F$ dipilih berturut-turut pada sisi $BC$ dan $CD$ sedemikian rupa sehingga segitiga $ABE$ dan segitiga $BCF$ mempunyai luas yang sama. Diagonal $BD$ memotong $AE$ dan $AF$ berturut-turut di $M$ dan $N$. Buktikan terdapat segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dengan $BM$, $MN$, dan $ND$.
  2. Lantai dari sebuah aula ditutupi dengan $2017\times2017$ ubin satuan. Luffy mempunyai sejumlah detektor. Setiap detektor yang diletakkan di atas ubin akan menyala jika tepat dibawahnya terdapat emas, dan tidak bereaksi apapun jika tidak ada emas di bawahnya. Luffy meletakkan $k$ buah detektor tepat di atas $k$ buah ubin kemudian dia keluar ruangan. Kemudian Sanji memilih suatu daerah persegi yang ditutupi oleh $1500 \times 1500$ ubin satuan dan menyembunyikan tepat satu koin emas di bawah setiap ubin. Ketika Luffy kembali dan melihat detektor yang tadi dia pasang, dia dapat menentukan letak semua koin yang tadi di tanam Sanji. Tentukan nilai $k$ terkecil agar Luffy selalu dapat menentukan letak semua koin tak peduli daerah manapun yang dipilih Sanji.
  3. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang tidak lebih besar dari $2017$ sedemikian sehingga $n$ habis membagi $20^n+17k$ untuk suatu bilangan asli $k$.
  4. Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$.
  5. Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak $\ldots$ Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009 = 0$ adalah $\ldots$ Bilangan rasional $a < b < c$ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan \[ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 3. \] Banyaknya bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah $\ldots$ Misalkan $\mathbb{N}$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif dan \[ S = \left\lbrace n \in \mathbb{N} \left\lvert \dfrac{n^{2009}+2}{n+1} \in \mathbb{N} \right. \right\rbrace . \] Banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tan CAB = \dfrac{22}{7}$. Melalui titik sudut $A$ ditarik garis tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi $BC$ menjadi segmen-segmen dengan panjang 3 dan 17. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Nilai minimum dari $f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga dengan panjang dari ketiga garis tinggi segitiga itu merupakan bilangan bulat. Jika panjang kedua garis tingginya adalah 10 dan 6, maka panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah $\ldots$ Suatu fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ mempunyai sifat $f(x + 1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ untuk setiap $x \in \mathbb{Z}$. Jika $f(2) = 2$, maka nilai fungsi $f(2009)$ adalah $\ldots$ Diketahui segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang sisi-sisinya $a$, $b$, dan $c$ serta $a < b < c$. Misalkan $r$ dan $R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Jika $\dfrac{r(a + b + c)}{R^2} = \sqrt{3}$, maka nilai dari $\dfrac{r}{a+b+c}$ adalah $\ldots$ Jika $\tan x + \tan y = 25$ dan $\cot x + \cot y = 30$, maka nilai $\tan(x + y)$ adalah $\ldots$ Pada bagian kanan 100! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak $\ldots$ Ada empat pasang sepatu, akan diambil empat sepatu secara acak. Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah $\ldots$ Diketahui $k$, $m$, dan $n$ adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi \[ \dfrac{k}{m} + \dfrac{m}{4n} = \dfrac{1}{6}. \] Bilangan $m$ terkecil yang memenuhi adalah $\ldots$ Bilangan prima $p$ yang memenuhi $(2p - 1)^3 + (3p)^2 = 6^p$ ada sebanyak $\ldots$ Jika $x_1, x_2, \ldots , x_{2009}$ bilangan real, maka nilai terkecil dari \[ \cos x_1 \sin x_2 + \cos x_2 \sin x_3 + \ldots + \cos x_{2009} \sin x_1 \] adalah $\ldots$ Misalkan $a$, $b$, $c$ adalah akar-akar polinom $x^3 - 8x^2 + 4x - 2$. Jika $f (x) = x^3+px^2+qx+r$ adalah polinomial dengan akar-akar $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$, maka $f (1) = \ldots$ Banyaknya segitiga tumpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi terpanjang 10 adalah $\ldots$ (Catatan: dua segitiga kongruen dianggap sama) Misalkan $n$ bilangan asli terkecil yang mempunyai tepat 2009 faktor dan $n$ merupakan kelipatan 2009. Faktor prima terkecil dari $n$ adalah $\ldots$ Misalkan $p (x) = x^2 -6$ dan $A = \left\lbrace x \in \mathbb{R} \vert p(p(x)) = x \right\rbrace$. Nilai maksimal dari $\left\lbrace |x| : x \in A \right\rbrace$ adalah $\ldots$ Misalkan $q = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ dan $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. Nilai $\lfloor q \lfloor qn \rfloor \rfloor - \lfloor q^2n \rfloor$ untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ adalah $\ldots$
  6. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah $\ldots$ Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak $\ldots$ Jika $0 < b < a $ dan $ a^2 + b^2 = 6ab $, maka $ \dfrac{a+b}{a-b} = \ldots $ Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip $ABC$, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah $\ldots$ Dalam bidang $XOY$, banyaknya garis yang memotong sumbu $X$ di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu $Y$ di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik $(4, 3)$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$, $AD$ tegak lurus $BC$ sedemikian rupa sehingga $DC = 2$ dan $BD = 3$. Jika $\angle BAC = 45^\circ$, maka luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat yang memenuhi $y^2 + 3x^2y^2 = 30x^2 + 517$, maka $3x^2y^2 = \ldots$ Diberikan segitiga $ABC$, dengan $BC = a$, $AC = b$, dan $\angle C = 60^\circ$. Jika $\dfrac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$, maka besarnya sudut $B$ adalah $\ldots$ Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50\% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50\% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$, dengan $BC = 5$, $AC = 12$, dan $AB = 13$. Titik $D$ dan $E$ berturut-turut pada $AB$ dan $AC$ sedemikian rupa sehingga $DE$ membagi segitiga $ABC$ menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum $DE$ adalah $\ldots$ Misalkan $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah bilangan rasional. Jika diketahui persamaan $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2008}$. Nilai dari $a + b + c + d$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dengan sisi-sisi $a$, $b$, dan $c$. Nilai $a^2 + b^2 + c^2$ sama dengan 16 kali luas segitiga $ABC$. Besarnya nilai $\cot A + \cot B + \cot C$ adalah $\ldots$ Diberikan $f(x) = x^2 + 4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi $f(xy) + f(y - x) = f(y + x)$. Nilai minimum dari $x + y$ adalah $\ldots$ Banyak bilangan bulat positif $n$ kurang dari 2008 yang mempunyai tepat $\dfrac{n}{2}$ bilangan kurang dari $n$ dan relatif prima terhadap $n$ adalah $\ldots$ Suatu polinom $f(x)$ memenuhi persamaan $f(x^2) - x^3f(x) = 2(x^3 - 1)$ untuk setiap $x$ bilangan real. Derajat (pangkat tertinggi $x$) $f(x)$ adalah $\ldots$ Anggap satu tahun 365 hari. Peluang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama adalah $\ldots$ Tiga bilangan dipilih secara acak dari $\{1,2,3, \ldots,2008\}$. Peluang jumlah ketiganya genap adalah $\ldots$ Misalkan $\lvert X \rvert$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X$. Jika $\lvert A \cup B \rvert = 10$ dan $\lvert A \rvert = 4$, maka nilai yang mungkin untuk $\lvert B \rvert$ adalah $\ldots$ Diketahui $AD$ adalah garis tinggi dari segitiga $ABC$, $\angle DAB =\angle ACD$, $AD = 6$, $BD = 8$. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Nilai dari $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{1004} 3^k \binom{1004}{k} = \ldots$
  7. 1.Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah $\ldots$ Sejumlah uang terdiri dari koin pecahan Rp. 500, Rp. 200, dan Rp. 100 dengan nilai total Rp. 100.000. Jika nilai uang pecahan 500-an setengah dari nilai uang pecahan 200-an, tetapi tiga kali nilai uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin adalah $\ldots$ Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan panjang lebih panjang dari panjang sisi terpendeknya. Luas segitiga itu adalah $\ldots$ satuan luas. Di antara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah $\ldots$ Seorang pedagang mobil bekas menjual dua buah mobil dengan harga sama. Ia merugi 10% untuk mobil pertama, tetapi impas (kembali modal) untuk kedua mobil. Persentase keuntungan pedagang itu untuk mobil kedua adalah $\ldots$ Dona menyusun lima buah persegi yang kongruen menjadi sebuah bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm$^2$, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah $\ldots$ Empat tim sepakbola mengikuti sebuah turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, sebuah tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah $\ldots$ Untuk bilangan asli $n$, didefinisikan $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$. Dalam bentuk sederhana, $1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + 3! \cdot 3 + \ldots + n! \cdot n = \ldots$ Titik $P$ terletak di kuadran I pada garis $y = x$. Titik $Q$ terletak pada garis $y = 2x$ demikian sehingga $PQ$ tegak lurus terhadap garis $y = x$ dan $PQ = 2$. Maka koordinat $Q$ adalah $\ldots$ Himpunan semua bilangan asli $n$ sehingga $6n + 30$ adalah kelipatan $2n + 1$ adalah $\ldots$ Suku konstanta pada ekspansi $\left( 2x^2 - \dfrac{1}{x} \right) ^ 9$ adalah $\ldots$ Absis titik potong garis $l$ dengan sumbu-$x$ dan ordinat titik potong $l$ dengan sumbu-$y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $l$ juga melalui titik $(3, 4)$, persamaan $l$ adalah $\ldots$ Tujuh belas permen dikemas ke dalam kantong-kantong sehingga banyak permen dalam setiap dua kantong berselisih paling banyak 1. Banyaknya cara mengemas permen tersebut ke dalam paling sedikit dua kantong adalah $\ldots$ Jika nilai maksimum $x + y$ pada himpunan $\{(x, y) \mid x \ge 0, y \ge 0, x + 3y \le 6, 3x + y \le a\}$ adalah 4, haruslah $a = \ldots$ Sebuah kubus berukuran $5 \times 5 \times 5$ disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah $\ldots$ Sebuah papan persegi dibagi ke dalam $4 \times 4$ petak dan diwarnai seperti papan catur. Setiap petak diberi nomor dari 1 hingga 16. Andi ingin menutup petak-petak pada papan dengan 7 kartu seukuran $2 \times 1$ petak. Agar ke-7 kartunya dapat menutupi papan, ia harus membuang dua petak. Banyak cara ia membuang dua petak adalah $\ldots$ Bilangan-bilangan asli 1, 2, $\ldots$ , $n$ dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah $35\dfrac{7}{17}$. Bilangan $n$ yang memungkinkan ini terjadi adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $A$, titik $D$ pada $AC$ dan titik $F$ pada $BC$. Jika $AF \perp BC$ dan $BD = DC = FC = 1$, maka $AC = \ldots$ Di antara semua solusi bilangan asli $(x, y)$ dari persamaan $\dfrac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = 54$, solusi dengan $x$ terbesar adalah $(x, y) = \ldots$ Misalkan $V$ adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat bilangan bulat dan $X$ adalah himpunan titik tengah dari semua pasangan titik pada himpunan $V$. Untuk memastikan bahwa ada angota $X$ yang juga memiliki koordinat bilangan bulat, banyak anggota $V$ paling sedikit harus $\ldots$
  8. Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2006}$ dan $\sqrt{2006}$ adalah $\ldots$ Pada trapesium $ABCD$, sisi $AB$ sejajar dengan $DC$. Sebuah lingkaran yang menyinggung keempat sisi trapesium dapat dibuat. Jika $AB = 75$ dan $DC = 40$, maka keliling trapesium $ABCD = \ldots$ Himpunan semua $x$ yang memenuhi $(x - 1)^3 + (x - 2)^2 = 1$ adalah $\ldots$ Bilangan prima dua angka terbesar yang merupakan jumlah dua bilangan prima lainnya adalah $\ldots$ Afkar memilih suku-suku barisan geometri takhingga 1, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, $\ldots$ , untuk membuat barisan geometri takhingga baru yang jumlahnya 71. Tiga suku pertama pilihan Afkar adalah $\ldots$ Luas sisi-sisi sebuah balok adalah 486, 486, 243, 243, 162, 162. Volume balok tersebut adalah $\ldots$ Nilai maksimum fungsi $f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right) ^{x^2-4x+3} $ adalah $\ldots$ Diberikan fungsi $f(x) = ||x - 2| - a| - 3$. Jika grafik $f$ memotong sumbu-$x$ tepat di tiga titik, maka $a = \ldots$ Untuk bilangan asli $n$, tuliskan $s(n) = 1 + 2 + \ldots + n$ dan $p(n) = 1 \times 2 \times \ldots \times n$. Bilangan genap $n$ terkecil yang memenuhi $p(n)$ habis dibagi $s(n)$ adalah $\ldots$ Jika $|x|+ x + y = 10$ dan $x + |y| − y = 12$, maka $x + y=\ldots$ Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari $\{1,2,3,\ldots,8\}$ adalah $\ldots$ Dari setiap bilangan satu-angka $a$, bilangan $N$ dibuat dengan menyandingkan ketiga bilangan $a + 2$, $a + 1$, $a$ yaitu $N = \overline{(a+2)(a+1)a}$. Sebagai contoh, untuk $a = 8$, $N = 1098$. Kesepuluh bilangan $N$ semacam itu memiliki faktor persekutuan terbesar $\ldots$ Jika $x^2 + \dfrac{1}{x^2}=47$, maka $\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \ldots$ Sebuah kelas akan memilih seorang murid di antara mereka untuk mewakili kelas tersebut. Setiap murid mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Peluang seorang murid laki-laki terpilih sama dengan $\dfrac{2}{3}$ kali peluang terpilihnya seorang murid perempuan. Persentase murid laki-laki di kelas tersebut adalah $\ldots$ Pada segitiga $ABC$, garis bagi sudut $A$ memotong sisi $BC$ di titik $D$. Jika $AB = AD = 2$ dan $BD = 1$, maka $CD = \ldots$ Jika $(x - 1)^2$ membagi $ax^4 + bx^3 + 1$, maka $ab = \ldots$ Dari titik $O$ ditarik dua setengah-garis (sinar) $l_1$ dan $l_2$ yang membentuk sudut lancip $\alpha$. Titik-titik berbeda $A_1$, $A_3$, $A_5$ terletak pada garis $l_2$, sedangkan titik-titik $A_2$, $A_4$, $A_6$ terletak di $l_1$. Jika $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4O = OA_5 = A_5A_6 = A_6A_1$, maka $\alpha = \ldots$ Banyaknya bilangan 7-angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka 2504224 adalah $\ldots$ Evan membuat sebuah barisan bilangan asli $a_1, a_2, a_3, \ldots$ yang memenuhi $a_{k+1} - a_k = 2(a_k - a_{k-1})-1$, untuk $k = 2, 3, \ldots$, dan $a_2 - a_1 = 2$. Jika 2006 muncul dalam barisan, nilai $a_1$ terkecil yang mungkin adalah $\ldots$ Pada segitiga $ABC$, garis-garis berat dari titik sudut $B$ dan titik sudut $C$ saling berpotongan tegak lurus. Nilai minimum $\cot B + \cot C$ adalah $\ldots$
  9. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, $\ldots$ , 15, 16 disusun pada persegi $4 \times 4$. Untuk $i = 1, 2, 3, 4$, misalkan $b_i$ adalah jumlah bilangan-bilangan pada baris ke- $i$ dan $k_i$ adalah jumlah bilangan-bilangan pada kolom ke-$i$. Misalkan pula $d_1$ dan $d_2$ adalah jumlah bilangan-bilangan pada kedua diagonal. Susunan tersebut dapat disebut antimagic jika $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$, $k_1$, $k_2$, $k_3$, $k_4$, $d_1$, $d_2$ dapat disusun menjadi sepuluh bilangan berurutan. Tentukan bilangan terbesar di antara sepuluh bilangan berurutan ini yang dapat diperoleh dari sebuah antimagic.
  10. Pada segitiga lancip $ABC$, $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis-garis tinggi, dengan $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$. Buktikan bahwa $$DE + DF \leq BC.$$
  11. Misalkan $a$ dan $b$ dua bilangan asli, yang satu bukan kelipatan yang lainnya. Misalkan pula $\text{KPK}(a,b)$ adalah bilangan 2-angka, sedangkan $\text{FPB}(a,b)$ dapat diperoleh dengan membalik urutan angka pada $\text{KPK}(a,b)$. Tentukan $b$ terbesar yang mungkin.
  12. Misalkan $ABCD$ sebuah segiempat dengan $AB = BC = CD = DA$. Buktikan bahwa titik $A$ harus berada di luar segitiga $BCD$. Buktikan bahwa setiap pasangan sisi berhadapan pada $ABCD$ selalu sejajar.
  13. Tentukan banyaknya bilangan positif 5-angka palindrom yang habis dibagi 3. Palindrom adalah bilangan/kata yang sama jika dibaca dari kiri ke kanan atau sebaliknya. Sebagai contoh 35353 adalah bilangan palindrom, sedangkan 14242 bukan.
  14. Bilangan 1, 2, 3, $\ldots$ , 9 disusun melingkar secara acak. Buktikan bahwa ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya lebih besar dari 15.
  15. Lingkaran dalam dari segitiga $ABC$, menyinggung sisi-sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ berturut-turut di $D$, $E$, dan $F$. Melalui $D$, ditarik garis tegak lurus $EF$ yang memotong $EF$ di $G$. Buktikan bahwa $$\dfrac{FG}{EG} = \dfrac{BF}{CE}.$$
  16. Diberikan polinom real $P(x) = x^{2008} + a_1x^{2007} + a_2x^{2006} + \ldots + a_{2007}x + a_{2008}$ dan $Q(x) = x^2 + 2x + 2008$. Misalkan persamaan $P(x) = 0$ mempunyai 2008 akar real dan $P(2008) \le 1$. Tunjukkan bahwa persamaan $P(Q(x)) = 0$ mempunyai akar real.
  17. Carilah semua pasangan bilangan asli $(x, n)$ yang memenuhi $$1+x+x^2 + \ldots + x^n = 40.$$
  18. Diketahui $p$ adalah bilangan prima sehingga persamaan $7p = 8x^2 - 1$ dan $p^2 = 2y^2 - 1$ mempunyai solusi $x$ dan $y$ berupa bilangan bulat. Tentukan semua nilai $p$ yang memenuhi.
  19. Diberikan segitiga $ABC$ dan titik $D$ pada sisi $AC$. Misalkan $r_1$, $r_2$, dan $r$ berturut-turut menyatakan jari-jari lingkaran dalam dari segitiga-segitiga $ABD$, $BCD$, dan $ABC$. Buktikan bahwa $r_1 + r_2 > r$.
  20. Diberikan $n$ adalah bilangan asli. Misalkan $x = 6 + 2009\sqrt{n}$. Jika $\dfrac{x^{2009}-x}{x^3-x}$ merupakan bilangan rasional, tunjukkan bahwa $n$ merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli.
  21. Seekor semut hendak melangkah ke makanan yang berada sejauh 10 langkah di depannya. Semut tersebut sedang mendapatkan hukuman, ia hanya boleh melangkah ke depan sebanyak kelipatan tiga langkah dan selebihnya harus melangkah ke belakang. Tentukan banyaknya cara melangkah agar bisa mencapai makanan, jika ia harus melangkah tidak lebih dari dua puluh langkah. (Catatan: jika semut melangkah dua kali dimana masing-masing melangkah sekali ke belakang, maka dianggap sama saja dengan dua langkah ke belakang.)
  22. Misalkan $A$ suatu himpunan berhingga beranggotakan bilangan asli. Tinjau himpunan-himpunan bagian dari $A$ dengan tiga anggota. Himpunan $A$ dikatakan seimbang apabila banyak himpunan bagian dari $A$ dengan tiga anggota yang jumlah ketiga anggota tersebut habis dibagi 3 sama dengan banyak himpunan bagian dari $A$ dengan tiga anggota yang jumlah ketiga anggota tersebut tidak habis dibagi 3. Berikan satu contoh himpunan seimbang dengan $9$ anggota. Buktikan bahwa tidak ada himpunan seimbang dengan $2013$ anggota.
  23. Tentukan semua bilangan real positif $M$ sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan real positif $a,b,c$, paling sedikit satu diantara tiga bilangan berikut: \[a+\frac{M}{ab},\quad b+\frac{M}{bc},\quad c+\frac{M}{ca}\] bernilai lebih dari atau sama dengan $1+M$.
  24. Diketahui bangun persegi panjang berukuran $4 \times 6$ dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada gambar tersebut.
  25. Diberikan segitiga samakaki $ABC$, dengan $AB=AC$. Misalkan $D$ titik pada segmen $BC$ sehingga $BD=2DC$. Misalkan pula bahwa $P$ titik pada segmen $AD$ sehingga $\angle{BAC}=\angle{BPD}$. Buktikan bahwa $\angle{BAC}=2\angle{DPC}$