Search the Community

Showing results for tags 'osp'.



More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 48 results

  1. Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ... Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ... Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ... Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ... Ita memilih bilangan di antara $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ... Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ... Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ... Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ... Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit. Diberikan bilangan real positif $k$. Pada suatu segitiga $ABC$, titik-titik $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ sehingga \[\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=k.\] Jika $[ABC]$ dan $[DEF]$ berturut-turut menyatakan luas segitiga $ABC$ dan $DEF$, maka $\frac{[DEF]}{[ABC]} = $... Untuk sebarang bilangan asli $k$, misalkan $I_k = 10\dots064$ dengan $0$ di antara $1$ dan $6$ sebanyak $k$. Jika $N(k)$ menyatakan banyaknya faktor $2$ pada faktorisasi prima dari $I_k$, maka nilai maksimum untuk $N(k)$ adalah ... Jika $x$, $y$, dan $z$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \[x+\frac{1}{y} = 4, y+\frac{1}{z} = 1, z+\frac{1}{x} = \frac{7}{3},\] maka nilai $xyz$ adalah ... Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa diapit oleh dua siswa lebih tinggi dari dirinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tau$ sebagai lingkaran luarnya. Tali busur $AD$ adalah garis bagi dalam sudut $BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Tali busur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotong $AC$ di titik $M$. Jika $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\frac{AM}{MC}$ adalah ... Bilangan asli empat-digit $n$ habis dibagi oleh $7$. Bilangan asli $k$, yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit $n$ dari belakang ke depan, juga habis dibagi oleh $7$. Selain itu, diketahui bahwa $n$ dan $k$ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh $37$. Jika $k>n$, maka jumlah dari semua $n$ yang memenuhi adalah ... Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\left \lfloor{x}\right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i\geq1}$ barisan bilangan real dengan $a_1=20,17$. Jika \[a_1, a_2, ... , a_{11} \textrm{ dan} \left \lfloor{a_1}\right \rfloor, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{10}}\right \rfloor\]masing-masing merupakan barisan aritmetika; sedangkan $\left \lfloor{a_1}\right \rfloor\, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{11}}\right \rfloor$ bukan barisan aritmetika, maka nilai minimum dari $a_2-a_1-\left \lfloor{a_2-a_1}\right \rfloor$ adalah ... Di suatu Pusat Jajanan terdapat empat kedai yang masing-masing menjual tiga jenis makanan. Ada $n$ orang yang masing-masing membeli tepat satu makanan pada setiap kedai. Untuk setiap tiga pembeli, ada paling sedikit satu kedai yang ketiga jenis makanannya terbeli. Nilai $n$ maksimum yang mungkin adalah ... Diketahui segi tujuh beraturan $ABCDEFG$. Jarak dari $A$ ke garis $BC$, $BE$, $CF$, dan $EF$ berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$, dan $d$. Nilai $\frac{ad}{bc}$ adalah ... Diketahui $f(x)$ polinom berderajat $n$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat yang memenuhi $f(0) = 39$ dan $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = ... = f(x_n) = 2017$, dengan $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ semua berbeda. Bilangan $n$ terbesar yang mungkin adalah ...
  2. Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil.
  3. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan-bilangan real yang nilai mutlaknya tidak lebih besar dari $1$. Buktikan bahwa \[\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|} \leq 2+\sqrt{2}\].
  4. Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$!
  5. Diberikan segitiga $ABC$ yang ketiga garis tingginya berpotongan di titik $H$. Tentukan semua titik $X$ pada sisi $BC$ sehingga pencerminan $H$ terhadap titik $X$ terletak pada lingkaran luar segitiga $ABC$.
  6. Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  7. Titik letis pada bidang adalah titik yang mempunyai koordinat berupa pasangan bilangan bulat. Misalkan $ P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 $ adalah lima titik letis berbeda pada bidang. Buktikan bahwa terdapat sepasang titik $ (P_i, P_j),i\neq j $, demikian, sehingga ruas garis $ P_iP_j $ memuat sebuah titik letis selain $ P_i $ dan $ P_j $.
  8. Buktikan bahwa $ 999! < 500^{999} $. (Catatan: $ n!= 1\times 2\times 3\times \dots \times n $)
  9. Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$.
  10. Andi, Beni, Coki, Doni dan Edo bermain kancil-serigala. Setiap anak menjadi kancil atau serigala, tetapi tidak kedua-duanya. Kancil selalu jujur, sementara serigala selalu berdusta. Andi berkata bahwa Beni adalah kancil. Coki berkata bahwa Doni adalah serigala. Edo berkata Andi bukan serigala. Beni berkata Coki bukan kancil. Doni berkata bahwa Edo dan Andi adalah binatang yang berbeda. Tentukan banyaknya serigala dalam permainan ini.
  11. Jika $a$ sebuah bilangan rasional dan $b$ adalah sebuah bilangan tak rasional, maka $a + b$ adalah bilangan $\ldots$ Jumlah sepuluh bilangan prima yang pertama adalah $\ldots$ Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi $\{1, 2\} \subseteq X \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ adalah $\ldots$ Jika $N = 123456789101112\ldots 9899100$, maka tiga angka pertama dari $\sqrt{N}$ adalah $\ldots$ Misalkan $ABCD$ adalah sebuah trapesium dengan $BC \parallel AD$. Titik-titik $P$ dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah sisi $AB$ dan $CD$. Titik $Q$ terletak pada sisi $BC$ sehingga $BQ : QC = 3 : 1$, sedangkan titik $S$ terletak pada sisi $AD$ sehingga $AS : SD = 1 : 3$. Maka rasio luas segiempat $PQRS$ terhadap luas trapesium $ABCD$ adalah $\ldots$ Bilangan tiga-angka terkecil yang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah $\ldots$ Jika $a$, $b$ dua bilangan asli $a \le b$ sehingga $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, maka pasangan terurut $(a, b) = \ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dan titik $D$ terletak pada sisi $BC$. Jika $AB = AC$, $AD = BD$, dan besar sudut $DAC = 39^\circ$, maka besar sudut $BAD$ adalah $\ldots$ Ketika mendaki sebuah bukit, seorang berjalan dengan kecepatan $1 \frac{1}{2}$ km/jam. Ketika menuruni bukit tersebut, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak bukit dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit (dalam km) adalah $\ldots$ .Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas segitiga adalah $\sqrt{3}$, maka luas segienam adalah $\ldots$ Dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang jumlah kedua angka yang muncul adalah bilangan prima adalah $\ldots$ Keliling sebuah segitiga samasisi adalah $p$. Misalkan $Q$ adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari $Q$ ke ketiga sisi segitiga adalah $s$, maka, dinyatakan dalam $s$, $p = \ldots$ Barisan bilangan asli $(a, b, c)$ dengan $a \ge b \ge c$, yang memenuhi sekaligus kedua persamaan $ab + bc = 44$ dan $ac + bc = 23$ adalah $\ldots$ Empat buah titik berbeda terletak pada sebuah garis. Jarak antara sebarang dua titik dapat diurutkan menjadi barisan 1, 4, 5, $k$, 9, 10. Maka $k = \ldots$ Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah $\ldots$ Banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $2xy − 5x + y = 55$ adalah $\ldots$ Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas dan $A \cup B = \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$. Hasil perkalian semua unsur $A$ sama dengan jumlah semua unsur $B$. Unsur terkecil $B$ adalah $\ldots$ Bentuk sederhana dari$$\frac{(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1) \ldots (100^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1) \ldots (100^3+1)}$$ adalah $\ldots$ Misalkan $ABCD$ adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga samasisi. Misalkan $S$ adalah titik tengah rusuk $AB$ dan $T$ titik tengah rusuk $CD$. Jika panjang rusuk $ABCD$ adalah 1 satuan panjang, maka panjang $ST$ adalah $\ldots$ Untuk sebarang bilangan real $a$, notasi $\left\lfloor a \right\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $a$. Jika $x$ bilangan real yang memenuhi $\left\lfloor x+\sqrt{3} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{3} \right\rfloor$, maka $x - \left\lfloor x \right\rfloor$ tidak akan lebih besar dari $\ldots$
  12. Misalkan $ x $ dan $ y $ adalah bilangan real tak nol. Jika $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=10 $ dan $ x + y = 40 $, berapakah $ xy $? Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan 1 bagian sirup untuk 4 bagian air. Berapa gelas minuman yang diperoleh dari sebotol sirup jika perbandingan larutan adalah 1 bagian sirup untuk 5 bagian air? Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar pulau Jawa? Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan.Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapakah rasio hasil perhitungan Dina terhadap hasil yang seharusnya? Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat $ (0, 0) $. Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua berada di kuadran II danpusat lingkaran ketiga berada pada kuadran III. Jika $ P $ adalah sebuah titik yang berada di dalam ketiga lingkaran tersebut, di kuadran manakah titik ini berada ? Diberikan berturut-turut (dari kiri ke kanan) gambar-gambar pertama, kedua dan ketiga dari suatu barisan gambar. Berapakah banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-$ n $? Diberikan segitiga $ ABC $ dengan perbandingan panjang sisi $ AC : CB = 3 : 4 $. Garis bagi sudut luar $ C $ memotong perpanjangan $ BA $ di $ P $ (titik $ A $ terletak di antara titik-titik $ P $ dan $ B $). Tentukan perbandingan panjang $ PA : AB $. Berapakah banyaknya barisan bilangan bulat tak negatif $ (x, y, z) $ yang memenuhi persamaan $ x + y + z= 99 $? Tentukan himpunan semua bilangan asli $ n $ sehingga $ n(n-1)(2n-1 )$ habis dibagi 6. Tentukan semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2<|2x-8| $. Dari antara 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6? Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus. Jika salah satu dari diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut? Tentukan nilai dari \[\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\left(1-\dfrac{2}{7}\right)\dots\left(1-\dfrac{2}{2005}\right).\] Santi dan Tini berlari sepanjang sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari titik $ P $, tetapi mengambil arah berlawanan. Santi berlari $ 1\dfrac{1}{2} $ kali lebih cepat daripada Tini. Jika $ PQ $ adalah garis tengah lingkaran lintasan dan keduanya berpapasan untuk pertama kalinya di titik $ R $, berapa derajatkah besar $ \angle RPQ $? Pada sisi-sisi $ SU $, $ TS $ dan $ UT $ dari $ \triangle STU $ dipilih titik-titik $ P $,$ Q $ dan $ R $ berturut-turut sehingga $ SP = \dfrac{1}{4}SU, TQ = \dfrac{1}{2}TS$ dan $ UR= \dfrac{1}{3}UT $. Jika luas segitiga STU adalah 1, berapakah luas $ \triangle PQR $? Dua bilangan real $ x, y $ memenuhi $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 $. Berapakah nilai $ x + y $? Berapakah banyak minimal titik yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara keduanya tidak lebih dari $ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} $? Misalkan $ f $ sebuah fungsi yang memenuhi $ f(x) f(y)-f(xy) = x + y $, untuk setiap bilangan bulat $ x $ dan $ y $. Berapakah nilai $ f(2004) $? Notasi $ fpb(a, b) $ menyatakan faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat $ a $ dan $ b $. Tiga bilangan asli $ a_1< a_2< a_3 $ memenuhi $ fpb(a_1, a_2, a_3) = 1 $, tetapi $ fpb(a_i, a_j) > 1 $ jika $ i\neq j $, $ i,j=1,2,3 $. Tentukan $ (a_1,a_2,a_3) $ agar $ a_1+a_2+a_3 $ minimal. Didefinisikan $ a\bullet b =a + b + ab $, untuk semua bilangan bulat $ a, b $. Kita katakan bahwa bilangan bulat $ a $ adalah faktor dari bilangan bulat $ c $ bilamana terdapat bilangan bulat $ b $ yang memenuhi $ a\bullet b= c $. Tentukan semua faktor positif dari 67.
  13. Buktikan bahwa tidak ada bilangan asli $ m $ sehingga terdapat bilangan-bilangan bulat $ k, e $, dengan $ e\geq2 $, yang memenuhi $ m(m^2+1)=k^e $.
  14. Beni, Coki dan Doni tingggal serumah dan belajar di sekolah yang sama. Setiap pagi ketiganya berangkat pada saat yang sama. Untuk sampai ke sekolah Beni memerlukan waktu 2 menit, Coki memerlukan waktu 4 menit, sedangkan Doni memerlukan waktu 8 menit. Selain itu tersedia sebuah sepeda yang hanya dapat dinaiki satu orang. Dengan sepeda, setiap orang memerlukan waktu hanya 1 menit. Tunjukkan bahwa adalah mungkin bagi ketiganya untuk sampai ke sekolah dalam waktu tidak lebih dari $ 2\frac{3}{4} $ menit.
  15. Pada segitiga $ ABC $ diberikan titik-titik $ D $, $ E $, dan $ F $ yang terletak berturut-turut pada sisi $ BC $, $ CA $ dan $ AB $ sehingga garis-garis $ AD $, $ BE $ dan $ CF $ berpotongan di titik $ O $. Buktikan bahwa $$\frac{AO}{AD}+\frac{BO}{BE}+\frac{CO}{CF}=2.$$
  16. Tentukan semua $ (x,y,z) $, dengan $ x, y, z $ bilangan-bilangan real, yang memenuhi sekaligus ketiga persamaan berikut : $$x^2+4=y^3+4x-z^3$$ $$y^2+4=z^3+4y-x^3$$ $$z^2+4=x^3+4z-y^3$$
  17. Misalkan $A$ dan $B$ dua himpunan, masing-masing beranggotakan bilangan-bilangan asli yang berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur $A$ dan rata-rata aritmatika unsur-unsur $B$ adalah 5002. Jika $A \cap B = \{2005\}$, tentukan unsur terbesar yang mungkin dari himpunan $A \cup B$.
  18. Panjang ketiga sisi $a, b, c$ dengan $a \le b \le c$, sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat. Tentukan semua barisan $(a, b, c)$ agar nilai keliling dan nilai luas segitiga tersebut sama.
  19. Jika $\alpha, \beta, \gamma$ adalah akar-akar dari persamaan $x^3-x-1=0$, tentukan nilai dari$$\frac{1+\alpha}{1-\alpha} + \frac{1+\beta}{1-\beta} + \frac{1+\gamma}{1-\gamma}.$$
  20. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yang masing-masing bernomor 1, 2, 3, dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomornya, dan mengembalikannya ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bola yang terambil selalu bernomor 3?
  21. Panjang sisi terbesar pada segiempat talibusur $ABCD$ adalah $a$, sedangkan jari-jari lingkaran luar $\triangle ACD$ adalah 1. Tentukan nilai terkecil yang mungkin bagi $a$. Segiempat $ABCD$ yang bagaimana yang memberikan nilai $a$ sama dengan nilai terkecil tersebut?
  22. Tiga buah titik terletak pada daerah yang dibatasi oleh sumbu $ Y $ dan grafik persamaan $ 7x-3y^2+ 21= 0 $. Buktikan bahwa sedikitnya dua di antara ketiga titik tersebut mempunyai jarak tidak lebih dari 4 satuan.
  23. Titik-titik $ P $ dan $ Q $ berturut-turut adalah titik tengah rusuk $ AE $ dan $ CG $ pada kubus $ ABCD.EFGH $. Jika panjang rusuk kubus adalah 1 satuan, tentukan luas segi-empat $ DPFQ $.
  24. Tentukan semua bilangan bulat $ a $ dan $ b $ sehingga bilangan $$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}$$ merupakan bilangan rasional.
  25. Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak $\ldots$ Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009 = 0$ adalah $\ldots$ Bilangan rasional $a < b < c$ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan \[ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 3. \] Banyaknya bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah $\ldots$ Misalkan $\mathbb{N}$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif dan \[ S = \left\lbrace n \in \mathbb{N} \left\lvert \dfrac{n^{2009}+2}{n+1} \in \mathbb{N} \right. \right\rbrace . \] Banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tan CAB = \dfrac{22}{7}$. Melalui titik sudut $A$ ditarik garis tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi $BC$ menjadi segmen-segmen dengan panjang 3 dan 17. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$ Nilai minimum dari $f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$ adalah $\ldots$ Diberikan segitiga dengan panjang dari ketiga garis tinggi segitiga itu merupakan bilangan bulat. Jika panjang kedua garis tingginya adalah 10 dan 6, maka panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah $\ldots$ Suatu fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ mempunyai sifat $f(x + 1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ untuk setiap $x \in \mathbb{Z}$. Jika $f(2) = 2$, maka nilai fungsi $f(2009)$ adalah $\ldots$ Diketahui segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang sisi-sisinya $a$, $b$, dan $c$ serta $a < b < c$. Misalkan $r$ dan $R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Jika $\dfrac{r(a + b + c)}{R^2} = \sqrt{3}$, maka nilai dari $\dfrac{r}{a+b+c}$ adalah $\ldots$ Jika $\tan x + \tan y = 25$ dan $\cot x + \cot y = 30$, maka nilai $\tan(x + y)$ adalah $\ldots$ Pada bagian kanan 100! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak $\ldots$ Ada empat pasang sepatu, akan diambil empat sepatu secara acak. Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah $\ldots$ Diketahui $k$, $m$, dan $n$ adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi \[ \dfrac{k}{m} + \dfrac{m}{4n} = \dfrac{1}{6}. \] Bilangan $m$ terkecil yang memenuhi adalah $\ldots$ Bilangan prima $p$ yang memenuhi $(2p - 1)^3 + (3p)^2 = 6^p$ ada sebanyak $\ldots$ Jika $x_1, x_2, \ldots , x_{2009}$ bilangan real, maka nilai terkecil dari \[ \cos x_1 \sin x_2 + \cos x_2 \sin x_3 + \ldots + \cos x_{2009} \sin x_1 \] adalah $\ldots$ Misalkan $a$, $b$, $c$ adalah akar-akar polinom $x^3 - 8x^2 + 4x - 2$. Jika $f (x) = x^3+px^2+qx+r$ adalah polinomial dengan akar-akar $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$, maka $f (1) = \ldots$ Banyaknya segitiga tumpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi terpanjang 10 adalah $\ldots$ (Catatan: dua segitiga kongruen dianggap sama) Misalkan $n$ bilangan asli terkecil yang mempunyai tepat 2009 faktor dan $n$ merupakan kelipatan 2009. Faktor prima terkecil dari $n$ adalah $\ldots$ Misalkan $p (x) = x^2 -6$ dan $A = \left\lbrace x \in \mathbb{R} \vert p(p(x)) = x \right\rbrace$. Nilai maksimal dari $\left\lbrace |x| : x \in A \right\rbrace$ adalah $\ldots$ Misalkan $q = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ dan $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. Nilai $\lfloor q \lfloor qn \rfloor \rfloor - \lfloor q^2n \rfloor$ untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ adalah $\ldots$