Search the Community

Showing results for tags 'sma'.

The search index is currently processing. Current results may not be complete.


More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Categories

  • KTO Matematika
  • Olimpiade Sains
    • Olimpiade Sains Kota
    • Olimpiade Sains Provinsi
    • Olimpiade Sains Nasional
  • Pelatnas IMO Indonesia
    • Tahap I
    • Tahap II
    • Tahap III
  • Lomba Nasional
    • OMITS
    • LM UGM
  • Lomba Regional dan Internasional
  • Lain-lain

Categories

  • Landing

Forums

  • Matematika
    • Pojok Olimpiade
    • Matematika Sekolah
    • Matematika Universitas
  • Kompetisi
    • Olimpiade Sains
    • Pelatnas IMO Indonesia
    • KTO Matematika
  • Nonmatematika
    • Forum Pengumuman
    • Whatever

Found 43 results

  1. Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ... Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ... Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ... Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ... Ita memilih bilangan di antara $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ... Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ... Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ... Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ... Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit. Diberikan bilangan real positif $k$. Pada suatu segitiga $ABC$, titik-titik $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ sehingga \[\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=k.\] Jika $[ABC]$ dan $[DEF]$ berturut-turut menyatakan luas segitiga $ABC$ dan $DEF$, maka $\frac{[DEF]}{[ABC]} = $... Untuk sebarang bilangan asli $k$, misalkan $I_k = 10\dots064$ dengan $0$ di antara $1$ dan $6$ sebanyak $k$. Jika $N(k)$ menyatakan banyaknya faktor $2$ pada faktorisasi prima dari $I_k$, maka nilai maksimum untuk $N(k)$ adalah ... Jika $x$, $y$, dan $z$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \[x+\frac{1}{y} = 4, y+\frac{1}{z} = 1, z+\frac{1}{x} = \frac{7}{3},\] maka nilai $xyz$ adalah ... Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa diapit oleh dua siswa lebih tinggi dari dirinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah ... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tau$ sebagai lingkaran luarnya. Tali busur $AD$ adalah garis bagi dalam sudut $BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Tali busur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotong $AC$ di titik $M$. Jika $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\frac{AM}{MC}$ adalah ... Bilangan asli empat-digit $n$ habis dibagi oleh $7$. Bilangan asli $k$, yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit $n$ dari belakang ke depan, juga habis dibagi oleh $7$. Selain itu, diketahui bahwa $n$ dan $k$ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh $37$. Jika $k>n$, maka jumlah dari semua $n$ yang memenuhi adalah ... Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\left \lfloor{x}\right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i\geq1}$ barisan bilangan real dengan $a_1=20,17$. Jika \[a_1, a_2, ... , a_{11} \textrm{ dan} \left \lfloor{a_1}\right \rfloor, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{10}}\right \rfloor\]masing-masing merupakan barisan aritmetika; sedangkan $\left \lfloor{a_1}\right \rfloor\, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{11}}\right \rfloor$ bukan barisan aritmetika, maka nilai minimum dari $a_2-a_1-\left \lfloor{a_2-a_1}\right \rfloor$ adalah ... Di suatu Pusat Jajanan terdapat empat kedai yang masing-masing menjual tiga jenis makanan. Ada $n$ orang yang masing-masing membeli tepat satu makanan pada setiap kedai. Untuk setiap tiga pembeli, ada paling sedikit satu kedai yang ketiga jenis makanannya terbeli. Nilai $n$ maksimum yang mungkin adalah ... Diketahui segi tujuh beraturan $ABCDEFG$. Jarak dari $A$ ke garis $BC$, $BE$, $CF$, dan $EF$ berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$, dan $d$. Nilai $\frac{ad}{bc}$ adalah ... Diketahui $f(x)$ polinom berderajat $n$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat yang memenuhi $f(0) = 39$ dan $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = ... = f(x_n) = 2017$, dengan $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ semua berbeda. Bilangan $n$ terbesar yang mungkin adalah ...
  2. Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil.
  3. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan-bilangan real yang nilai mutlaknya tidak lebih besar dari $1$. Buktikan bahwa \[\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|} \leq 2+\sqrt{2}\].
  4. Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$!
  5. Diberikan segitiga $ABC$ yang ketiga garis tingginya berpotongan di titik $H$. Tentukan semua titik $X$ pada sisi $BC$ sehingga pencerminan $H$ terhadap titik $X$ terletak pada lingkaran luar segitiga $ABC$.
  6. Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  7. Diberikan polinom $P$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat. Misalkan diketahui bahwa persamaan $P\left( x\right) =0$ mempunyai sedikitnya $9$ solusi bilangan bulat berbeda. Misalkan juga $n$ adalah sebarang bilangan bulat dengan sifat $\left\vert P\left( n\right) \right\vert <2017.$ Buktikan bahwa $P\left( n\right) =0.$
  8. Di Sekolah Gasing, kelas 1 terdiri dari beberapa kelas, setiap kelas terdiri dari 31 siswa. Kelas 2 juga ada beberapa kelas, setiap kelas terdiri dari tepat 30 siswa. Demikian pula kelas 3, terdiri dari beberapa kelas, setiap kelas terdiri dari 28 siswa. Setiap hari 1 siswa ditugaskan untuk membaca satu ayat Al-Quran sebelum pelajaran dimulai. Setelah tepat 1 tahun, ternyata setiap siswa telah mendapatkan giliran masing-masing tepat 1 kali. Tunjukkan bahwa banyaknya kelas di sekolah ini tepat ada 12 kelas. Anggap 1 tahun ada 365 hari. Kompetisi Sains Madrasah 2016 MA Insan Cendekia, tingkat nasional
  9. Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah... Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut: Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan Adi bukan juara pertama Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah... Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah... Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah... Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah... Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah... Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah... Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah... Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah... Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah... Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan... Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah... Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah... Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah... Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah... Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$ memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah... Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah... Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...
  10. Titik letis pada bidang adalah titik yang mempunyai koordinat berupa pasangan bilangan bulat. Misalkan $ P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 $ adalah lima titik letis berbeda pada bidang. Buktikan bahwa terdapat sepasang titik $ (P_i, P_j),i\neq j $, demikian, sehingga ruas garis $ P_iP_j $ memuat sebuah titik letis selain $ P_i $ dan $ P_j $.
  11. Buktikan bahwa $ 999! < 500^{999} $. (Catatan: $ n!= 1\times 2\times 3\times \dots \times n $)
  12. Andi, Beni, Coki, Doni dan Edo bermain kancil-serigala. Setiap anak menjadi kancil atau serigala, tetapi tidak kedua-duanya. Kancil selalu jujur, sementara serigala selalu berdusta. Andi berkata bahwa Beni adalah kancil. Coki berkata bahwa Doni adalah serigala. Edo berkata Andi bukan serigala. Beni berkata Coki bukan kancil. Doni berkata bahwa Edo dan Andi adalah binatang yang berbeda. Tentukan banyaknya serigala dalam permainan ini.
  13. Bagaimana menggambar sudut 15° hanya menggunakan penggaris segitiga dengan ukuran 30°, 60°, dan 90°? Kompetisi Sains Madrasah 2016 MA tingkat Nasional no 2 Kompetisi Sains Madrasah 2016 MA Insan Cendekia tingkat Nasional hari kedua no 4
  14. Diberikan sebuah bilangan bulat positif $n$. Tentukan banyak quadruple bilangan asli $(x,y,z,t)$ yang memenuhi $$0\leq x\leq y\leq z\leq t\leq n$$ Nyatakan jawabanmu dalam notasi kombinatorika.
  15. Jika $a$ sebuah bilangan rasional dan $b$ adalah sebuah bilangan tak rasional, maka $a + b$ adalah bilangan $\ldots$ Jumlah sepuluh bilangan prima yang pertama adalah $\ldots$ Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi $\{1, 2\} \subseteq X \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ adalah $\ldots$ Jika $N = 123456789101112\ldots 9899100$, maka tiga angka pertama dari $\sqrt{N}$ adalah $\ldots$ Misalkan $ABCD$ adalah sebuah trapesium dengan $BC \parallel AD$. Titik-titik $P$ dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah sisi $AB$ dan $CD$. Titik $Q$ terletak pada sisi $BC$ sehingga $BQ : QC = 3 : 1$, sedangkan titik $S$ terletak pada sisi $AD$ sehingga $AS : SD = 1 : 3$. Maka rasio luas segiempat $PQRS$ terhadap luas trapesium $ABCD$ adalah $\ldots$ Bilangan tiga-angka terkecil yang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah $\ldots$ Jika $a$, $b$ dua bilangan asli $a \le b$ sehingga $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, maka pasangan terurut $(a, b) = \ldots$ Diberikan segitiga $ABC$ dan titik $D$ terletak pada sisi $BC$. Jika $AB = AC$, $AD = BD$, dan besar sudut $DAC = 39^\circ$, maka besar sudut $BAD$ adalah $\ldots$ Ketika mendaki sebuah bukit, seorang berjalan dengan kecepatan $1 \frac{1}{2}$ km/jam. Ketika menuruni bukit tersebut, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak bukit dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit (dalam km) adalah $\ldots$ .Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas segitiga adalah $\sqrt{3}$, maka luas segienam adalah $\ldots$ Dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang jumlah kedua angka yang muncul adalah bilangan prima adalah $\ldots$ Keliling sebuah segitiga samasisi adalah $p$. Misalkan $Q$ adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari $Q$ ke ketiga sisi segitiga adalah $s$, maka, dinyatakan dalam $s$, $p = \ldots$ Barisan bilangan asli $(a, b, c)$ dengan $a \ge b \ge c$, yang memenuhi sekaligus kedua persamaan $ab + bc = 44$ dan $ac + bc = 23$ adalah $\ldots$ Empat buah titik berbeda terletak pada sebuah garis. Jarak antara sebarang dua titik dapat diurutkan menjadi barisan 1, 4, 5, $k$, 9, 10. Maka $k = \ldots$ Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah $\ldots$ Banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $2xy − 5x + y = 55$ adalah $\ldots$ Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas dan $A \cup B = \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$. Hasil perkalian semua unsur $A$ sama dengan jumlah semua unsur $B$. Unsur terkecil $B$ adalah $\ldots$ Bentuk sederhana dari$$\frac{(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1) \ldots (100^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1) \ldots (100^3+1)}$$ adalah $\ldots$ Misalkan $ABCD$ adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga samasisi. Misalkan $S$ adalah titik tengah rusuk $AB$ dan $T$ titik tengah rusuk $CD$. Jika panjang rusuk $ABCD$ adalah 1 satuan panjang, maka panjang $ST$ adalah $\ldots$ Untuk sebarang bilangan real $a$, notasi $\left\lfloor a \right\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $a$. Jika $x$ bilangan real yang memenuhi $\left\lfloor x+\sqrt{3} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{3} \right\rfloor$, maka $x - \left\lfloor x \right\rfloor$ tidak akan lebih besar dari $\ldots$
  16. Misalkan $ x $ dan $ y $ adalah bilangan real tak nol. Jika $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=10 $ dan $ x + y = 40 $, berapakah $ xy $? Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan 1 bagian sirup untuk 4 bagian air. Berapa gelas minuman yang diperoleh dari sebotol sirup jika perbandingan larutan adalah 1 bagian sirup untuk 5 bagian air? Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar pulau Jawa? Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan.Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapakah rasio hasil perhitungan Dina terhadap hasil yang seharusnya? Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat $ (0, 0) $. Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua berada di kuadran II danpusat lingkaran ketiga berada pada kuadran III. Jika $ P $ adalah sebuah titik yang berada di dalam ketiga lingkaran tersebut, di kuadran manakah titik ini berada ? Diberikan berturut-turut (dari kiri ke kanan) gambar-gambar pertama, kedua dan ketiga dari suatu barisan gambar. Berapakah banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-$ n $? Diberikan segitiga $ ABC $ dengan perbandingan panjang sisi $ AC : CB = 3 : 4 $. Garis bagi sudut luar $ C $ memotong perpanjangan $ BA $ di $ P $ (titik $ A $ terletak di antara titik-titik $ P $ dan $ B $). Tentukan perbandingan panjang $ PA : AB $. Berapakah banyaknya barisan bilangan bulat tak negatif $ (x, y, z) $ yang memenuhi persamaan $ x + y + z= 99 $? Tentukan himpunan semua bilangan asli $ n $ sehingga $ n(n-1)(2n-1 )$ habis dibagi 6. Tentukan semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2<|2x-8| $. Dari antara 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6? Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus. Jika salah satu dari diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut? Tentukan nilai dari \[\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\left(1-\dfrac{2}{7}\right)\dots\left(1-\dfrac{2}{2005}\right).\] Santi dan Tini berlari sepanjang sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari titik $ P $, tetapi mengambil arah berlawanan. Santi berlari $ 1\dfrac{1}{2} $ kali lebih cepat daripada Tini. Jika $ PQ $ adalah garis tengah lingkaran lintasan dan keduanya berpapasan untuk pertama kalinya di titik $ R $, berapa derajatkah besar $ \angle RPQ $? Pada sisi-sisi $ SU $, $ TS $ dan $ UT $ dari $ \triangle STU $ dipilih titik-titik $ P $,$ Q $ dan $ R $ berturut-turut sehingga $ SP = \dfrac{1}{4}SU, TQ = \dfrac{1}{2}TS$ dan $ UR= \dfrac{1}{3}UT $. Jika luas segitiga STU adalah 1, berapakah luas $ \triangle PQR $? Dua bilangan real $ x, y $ memenuhi $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 $. Berapakah nilai $ x + y $? Berapakah banyak minimal titik yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara keduanya tidak lebih dari $ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} $? Misalkan $ f $ sebuah fungsi yang memenuhi $ f(x) f(y)-f(xy) = x + y $, untuk setiap bilangan bulat $ x $ dan $ y $. Berapakah nilai $ f(2004) $? Notasi $ fpb(a, b) $ menyatakan faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat $ a $ dan $ b $. Tiga bilangan asli $ a_1< a_2< a_3 $ memenuhi $ fpb(a_1, a_2, a_3) = 1 $, tetapi $ fpb(a_i, a_j) > 1 $ jika $ i\neq j $, $ i,j=1,2,3 $. Tentukan $ (a_1,a_2,a_3) $ agar $ a_1+a_2+a_3 $ minimal. Didefinisikan $ a\bullet b =a + b + ab $, untuk semua bilangan bulat $ a, b $. Kita katakan bahwa bilangan bulat $ a $ adalah faktor dari bilangan bulat $ c $ bilamana terdapat bilangan bulat $ b $ yang memenuhi $ a\bullet b= c $. Tentukan semua faktor positif dari 67.
  17. Buktikan bahwa tidak ada bilangan asli $ m $ sehingga terdapat bilangan-bilangan bulat $ k, e $, dengan $ e\geq2 $, yang memenuhi $ m(m^2+1)=k^e $.
  18. Beni, Coki dan Doni tingggal serumah dan belajar di sekolah yang sama. Setiap pagi ketiganya berangkat pada saat yang sama. Untuk sampai ke sekolah Beni memerlukan waktu 2 menit, Coki memerlukan waktu 4 menit, sedangkan Doni memerlukan waktu 8 menit. Selain itu tersedia sebuah sepeda yang hanya dapat dinaiki satu orang. Dengan sepeda, setiap orang memerlukan waktu hanya 1 menit. Tunjukkan bahwa adalah mungkin bagi ketiganya untuk sampai ke sekolah dalam waktu tidak lebih dari $ 2\frac{3}{4} $ menit.
  19. Pada segitiga $ ABC $ diberikan titik-titik $ D $, $ E $, dan $ F $ yang terletak berturut-turut pada sisi $ BC $, $ CA $ dan $ AB $ sehingga garis-garis $ AD $, $ BE $ dan $ CF $ berpotongan di titik $ O $. Buktikan bahwa $$\frac{AO}{AD}+\frac{BO}{BE}+\frac{CO}{CF}=2.$$
  20. Tentukan semua $ (x,y,z) $, dengan $ x, y, z $ bilangan-bilangan real, yang memenuhi sekaligus ketiga persamaan berikut : $$x^2+4=y^3+4x-z^3$$ $$y^2+4=z^3+4y-x^3$$ $$z^2+4=x^3+4z-y^3$$
  21. Jika $\alpha, \beta, \gamma$ adalah akar-akar dari persamaan $x^3-x-1=0$, tentukan nilai dari$$\frac{1+\alpha}{1-\alpha} + \frac{1+\beta}{1-\beta} + \frac{1+\gamma}{1-\gamma}.$$
  22. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yang masing-masing bernomor 1, 2, 3, dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomornya, dan mengembalikannya ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bola yang terambil selalu bernomor 3?
  23. Panjang sisi terbesar pada segiempat talibusur $ABCD$ adalah $a$, sedangkan jari-jari lingkaran luar $\triangle ACD$ adalah 1. Tentukan nilai terkecil yang mungkin bagi $a$. Segiempat $ABCD$ yang bagaimana yang memberikan nilai $a$ sama dengan nilai terkecil tersebut?
  24. Tiga buah titik terletak pada daerah yang dibatasi oleh sumbu $ Y $ dan grafik persamaan $ 7x-3y^2+ 21= 0 $. Buktikan bahwa sedikitnya dua di antara ketiga titik tersebut mempunyai jarak tidak lebih dari 4 satuan.
  25. Titik-titik $ P $ dan $ Q $ berturut-turut adalah titik tengah rusuk $ AE $ dan $ CG $ pada kubus $ ABCD.EFGH $. Jika panjang rusuk kubus adalah 1 satuan, tentukan luas segi-empat $ DPFQ $.